наблюдаемой необходимо использовать теорию нелинейной
фильтрации (см. предыдущие лекции).
В этом случае получаем оценку нелинейной динамической
системы в условиях линеаризации по Тейлору :
(2)
Синтез оптимального управления используя (2) проведем применив квадратичный критерий качества, причем управле-
ние динамической системой будем вести к некоторому этало-
ну, т.е. задано : , i=1,2...n
Критерий оптимизации
(3) ;
где || - норма, .
Риск складывается из двух слагаемых :
1-е слагаемое : Это есть квадрат отклонения траектории от
эталона. Оно должно быть минимизировано с
учетом формулы (2).
2-е слагаемое : Это есть сумма с квадратом самого управ-
ления (некоторая сила) должны быть мини-
мизированны (так должно быть всегда)
Минимизация (3) - это достаточно сложная задача вариаци-
онного исчисления (просто взять здесь производную по ‘u’
не удается).
Для минимизации (3) используем уравнение Бэлмана :
(4)
В формуле (4) минимизируя шаг за шагом получим :
(5) ; где - матрица
Выводы : (к формуле (5))
Оптимальное управление (5) реализуется с ис-
пользованием линейной оценки динамической сис-
темы, и это управление вставляется в формулу :
Если упростить критерий и привести его к виду (3’):
(3’)
то минимизация дает оптимальное управление эталона:
(6)
Оптимальное управление пропорционально разности меж-
ду экстраполированной оценкой и эталоном, т.о. полу-
чим :
(7)
Оценка (7) подставляется в (6). Со временем, при ми-
нимизации в этом случае сама оценка устремляется к
эталону.
Пример синтеза динамической системы управления частотой
генератора
Общая постановка :
Пусть имеется некоторая эталонная траектория
(1) , где - шум
Если эталон защищен, то его фильтруют.
Имеется управляемая динамическая система :
Управляемая динамическая система - фаза генератора или
траектория, которая должна подстроиться под эталон.
(2) ; шума часто нет, поэтому
им пренебрегают. Пусть
(3)
Рассмотрим более сложную модель фазы рассматриваемого ге-
нератора.
Считаем, что в (1),(3) уход фазы очень медленный,т.е.
. Используя нелинейную функцию оценка эталона:
(4’)
В (4) решение уравнения относительно имеет вид :
(5) ; с<1.
Выше было доказано, используя уравнение Бэлмана,
что :
Структурная схема реализации оптимального управления под-
стройки частоты к эталону
(4’) (5’)
шум
эталонный нелиненый Решающее Подстраи-
генератор фильтр устройство ваемый ге- вых
Т Т нератор
a c
устройство
+ - управления
На выходе - частота подстраиваемого генератора.
Подстраиваемый генератор имеет следующий вид:
- изменяется по закону (4), управляющая функция воз-
действует /вырабатывающаяся на прошлом шаге (i-1)/ она
должна подстраивать генератор так, чтобы она стремилась
к эталону.
Для этого : имеется устройство управления, которое воз-
действует на контур подстраиваемого генератора так, чтобы
(путем воздействия на варикап) ; a = с, тогда .
Управляемая система с обратной связью: если есть откло-
нение фазы на , (т.е. отклонение частоты) (),
тогда решающее усторойство дает оценку . Это приведет к
тому, что отклонится, напряжение подается на устрой-
ство управления, которое ликвидирует приращение. (правое
кольцо называется - кольцо ФАПЧ).
Глава 6
Управление нелинейными динамическими систе-
мами с помощью отрицательной обратной связи
Постановка задачи
Определение : Следящим измерителем называется система,
осуществляющая оценку некоторого параметра
(который является случайным процессом) в
следящем режиме.
Параметр может иметь следующий физический смысл :
а) Угловые координаты некоторого летательного аппарата,
которые изменяются во времени.
б) Изменение во времени доплеровской частоты.
в) Дальность до объекта.
Пример : летательный аппарат
D(t) - дальность
z (t) - угол азимута
- доплеровская частота
D
X Все эти 3 параметра входят в
y некоторый сигнал.
Y y - угол места
;
Доплеровская частота : Любая движущаяся система, облучае-
мая электромагнитной энергией, из-
лучает эту энергию.
; где - радиальная скорость.
Структурная схема следящего измерителя
y(t)=S(t,q(t))+h(t))
+ D(t) Фильтр
Дискриминатор экстраполя-
тор
-
рис.1
Синтезатор
опоры (блок 3)
D(t) - невязка.
- оценка.
Эта схема была построена в 30х годах инженерами-учеными.
Однако сначала 60х годов оказалось, что ее можно синтези-
ровать, используя теорию нелинейной фильтрации.
На рис.1 представлена схема следящего измерителя, где
управление осуществляется с использованием ООС. Эта
структура состоит из 3х блоков.
1й блок: - дискриминатор. На вход его подается смесь сиг-
нала S(t,q(t))+h(t) (аддитивная смесь), где
q(t) - меняющийся парметр. Нужно получить его оценку .
На другой вход дискриминатора подается копия сигнала S(t,q(t)), которая должна повторять сигнал, спрятанный в
шумах. Это достигается путем экстраполяции (предсказание) случайного процесса. На входе дискриминатора образуется
невязка : - это есть невязка нелинейной
фильтрации.
2й блок: - фильтр экстраполятор (блок фильтрации). На его
вход поступает невязка. 2й блок формирует те-
кущую оценку случайного процесса q(t). Это окончательный
нелинейный фильтр - расширенный фильтр Калмана. В этом же
блоке формируется оценка экстраполяции (см. далее) и эта
оценка подается на синтезатор опоры.
3й блок: - формирует копию сигнала. Оценка q(t) формиру-
ется по следующему критерию :
- критерий среднеквадратической ошибки.
Оптимальная оценка по критерию минимума среднеквадрати-
ческой ошибки получается с помощью только лишь нелиней-
ной фильтрации.
Замечание : Фильтрация нелинейна потому, что невязка фор-
мируется нелинейно ( оцениваемый параметр
q(t) входит в сигнал нелинейно), S(t,q(t)) -
нелинейно.
Принцип экстраполяции для задач синтеза следящих измери-
телей управляемых с помощью ООС
Следящий измеритель отслеживает некоторый (многомерный)
параметр , причем имеются наблюдения :
(1) , где - некоторая нелинейная
функция
В радиоавтоматике,в непрерывном времени это выглядит так:
, где ; 0<t<T.
А -амплитуда гармонического колебания, которая, например,
несет информацию об угловом положении цели.
Т - время наблюдения
t - время запаздывания, несет информацию о временном по-
ложении сигнала
t Т
t
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
