Комментарий к формуле (3) :
Фильтр Калмана сглаживает шумы и оказывается, если шу-
мы гауссовские, то этот фильтр является оптимальным.
(4)
n ® ¥
Т.е. среднеквадратическая ошибка будет минимизирована.
Если шумы не являются гауссовскими, то такая оценка
является ассимптотически минимальной, т.е. (4) выпол-
няется когда n ® ¥ .
Формула (4) является критерием минимума среднеквадрати-
ческой ошибки.
Фильтр Калмана дает оценку процесса истинного процесса
для гауссовских шумов, оптимальную по критерию (4),
т.е. по критерию минимума среднеквадратической ошибки.
Замечание 1 : Оптимальность означает, что не существует
другого фильтра, который мог бы дать такие
же результаты по среднеквадратической ошибке.(Остальные
фильтры дают большую ошибку)
Замечание 2 : Фильтр Калмана, в отличие от согласованного
фильтра, выделяет форму сигнала наилучшим
образом. (Согласованный фильтр обнаруживает сигнал и дает
максимум отношения сигнал/шум на выходе и сильно искажает
сигнал) Для согласованного фильтра все равно какая форма
сигнала на выходе, а фильтр Калмана выдает тот же сигнал,
что и на входе. Т.е. согласованный фильтр - для обнаруже-
ния сигнала, а фильтр Калмана - для фильтрации от шумов.
Замечание 3 : Фильтр Калмана записывается во временной
области, а не в частотной, как фильтр Вин-
нера.
Фильтр Виннера - реализован в частотной области.
(5)
K(w) - оптимальная функция передачи, которая мини-
мизирует среднеквадратическую ошибку.
y(t) - Оценка оптимальна. Она минимизирует СКО.
- энергетический спектр (распределение энергии
случайного процесса).
- энергетический спектр помехи.
Фильтр Калмана и Виннера дают
- одинаковое качество фильтрации,
однако фильтр Калмана проще ре-
ализуется на ЭВМ. Поэтому его и
АЧХ (пунктир) используют.
-
режекция
помехи
Анализ фильтра Калмана
Фильтр
Калмана
;
x(t)- ненаблюдаемый случайный процесс
y(t)- наблюдаемый случайный процесс
y(t) На входе фильтр Калма-
на использует наблюде-
ния и начальные усло-
вия. На выходе фильтра
x(t) получается исходный
процесс x(t).
Фильтрация медленных процессов
x(t)
При а=0.999,
,
есть медленный процесс, тогда
, это следует из формулы
(3).В этом случае -
t - экстраполяция (прогноз),т.е.
прошлая и текущая оценки поч-
ти одинаковы. В таком фильтре Калмана почти полностью иг-
норируются наблюдения. При оценке ситуации фильтр Калмана
не доверяет наблюдениям, а доверяет лишь прошлой оценке.
Это годится для процессов, которые можно легко предска-
зать.
Фильтрация быстрых процессов
- большая величина (>1); .
динамическая ошибка
t
Тогда , в этом случае (оценка) равна самим наблю-
дениям. Это значит, что фильтр Калмана не доверяет прош-
лым оценкам.
Вывод : Фильтр Калмана минимизирует и флуктуационную и
динамическую ошибку.
Динамической ошибкой называется разница между оценкой и
истинным значением процесса.
-=динамическая ошибка.
Флуктуационная ошибка - тоже, но за счет шума.
При быстром процессе шумы фактически не фильтруются.
Невязка входит в фильтр Калмана и выполняет роль
корректирующего члена, который в формуле (3)
учитывает ситуацию, которую дают наблюдения.
Оценка на шаге ‘n’ равна экстраполированной оценке
плюс некоторый корректирующий член, который есть невязка,
которая взята с весом . (Корректирующий член учитывает
наблюдения на шаге ‘n’) Вес учитывает апприорную дина-
мику системы (модели).
Вывод (по одномерному фильтру Калмана):
1) Фильтр Калмана можно построить в виде реккурентного
алгоритма только в том случае, если имеется модель
случайного процесса, который он фильтрует.
2) Фильтр Калмана оптимален для реального процесса только
в том случае, если реальный процесс близок к модели,
которую мы используем.
Многомерный фильтр Калмана
(1) , где - текущее время, -
- вектор (столбики)
A - матрица k´k, H - матрица m´k.
- вектор, - шум наблюдения
; - шум динамической системы.
Запишем (1) в скалярной форме. covx=Q, covh=P.
Многомерный фильтр Калмана для модели (1) :
где - вес, - невязка.
; где - единичная матрица
=Г ; Начальные условия задаются из аппри-
Г ; орных условий . - транспони-
рованная матрица (сопряженная).
Траекторные изменения
Часто требуется получить оценку траектории летательного
аппарата. Летательный аппарат может быть зафиксирован с
помощью радиолокатора, либо некоторой навигационной сис-
темой.
Летательный аппарат рассматривается в некоторой сис-
теме координат :
Если известны точно все 9 коор-
Z динат (см.ниже), то можно точ-
л.а. но навести ракету. Для определе-
ния всех координат существуют
р X траекторные фильтры, которые
строятся на базе фильтра Калмана.
Y
Траекторный фильтр 2-го порядка
(1) ; a<1
Первые две строки (1) - это модель, последняя строка -
- наблюдение.
Составим многомерный фильтр Калмана , для этого по мо-
дели (1) составим многомерную модель.
(2) ;
; ; H=[1,0]
Из формулы (2) имеем :
; ;
Траекторный фильтр 3-го порядка
(4) , первые две строки - модель,
последняя строка - наблюдения
; ; ; ;
H = [1,0,0] ;
Теория нелинейной фильтрации
Здесь нелинейные модели записываются в виде :
(1) ; здесь : верхняя функция - нелиней-
ная регрессия, нижняя - уравнение наблюдений.
Функция генерирует на любом интервале неко-
торый случайный процесс . Это есть модель неко-
торого случайного процесса, более богатая, чем все преды-
дущие модели.
Уравнение наблюдений : наблюдается не сама , а не-
которая функция j();наблюдения ведутся на фоне шумов
- шум нелинейной динамической системы (шум модели)
1) Требуется найти оценку , такую, чтобы :
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
