дает решение в 1й точке ( не дает траекторию (нужно де-
лать 1000 точек, чтобы получить траекторию)).
Пуан Каре в 19 веке дал качественную теорию решения диф-
ференциальных уравнений, она используется для решения не-
линейных дифференциальных уравнений в виде некоторого фа-
зового портрета (некоторый графический материал, по ко-
торому можно анализировать траекторию движения динамичес-
кой системы, т.е. фактически получить решение (1-го из
решений).
На примере X и Y :
y (1) , где
f(x,y) - некоторая нели-
a dy нейная функция
- нелинейная
функция
x
Найти решение означает - найти y=j(x) (2),
которая удовлетворяет (1).
Пуан Каре развил метод , как найти (2) прямо на
плоскости.
Метод изоклин
Если f(x,y)=const, то , а , на кривой
f(x,y)=const все производные имеют одно и тоже значение,
такая кривая называется изоклиной. (tga=const, a=const)
Можно вычислить множество изоклин, это множество дает по-
ле направлений. Касательная к этому полю и есть решение,
т.о. это есть траектория, которую мы разыскиваем.
y Пример1: ;
y
- решение диф. - изоклина
уравнения
Пример 2: ,
Величина радиуса - значение производной, любая окружность - изоклина. Решение (касательная к полю направления) -
-есть касательная к векторам, расположенная на изоклинах.
- изоклина
¬ решение
- Уравнение Вандер Поля
x(t) - напряжение на контуре автогенератора, фазовая пе-
ременная
= const - параметр
- вторая фазовая переменная
Учитывая это имеем :
(1)’ пусть = 0
(1)’’
- изоклина
- фазовый портрет
- Решение дифференциаль-
ного уравнения Вандер
Поля - окружность
(при = 0)
Если на входы X и Y осцилографа подать две синусоиды, то
получим окружность (фигура Лиссажу), следовательно окруж-
ность дает решения синусоидального колебания.
x Y
t t
Пусть ¹ 0 (см. ур-е (1)’) фазовый портрет будет 2х ти-
пов :
Y X(t)
X
t
Выводы :
1) Динамические системы радиоавтоматики описыва-
ются дифференциальными уравнениями 1, 2 и бо-
лее высокого порядка ( например: колебатель-
ная система(солнечная система, автогенератор,
полет космического аппарата в поле притяже-
ния земли) описывается диф. уравнением 2-го
порядка и выше.
2) Линейные динамические системы описываются ли-
нейными диф. уравнениями. Линейная динамичес-
кая система составленная из R,L,C - цепочек и
активных элементов (транзисторов и т.д.).
Любая линейная система путем преобразования
Лапласа может быть представлена в виде пере-
даточной функции.(Диф. уравнение преобразует-
ся по Лапласу). Передаточная функция записы-
вается для удобства в комплексном виде, на
мнимой оси p=jw можно найти АЧХ и ФЧХ линей-
ной системы. Передаточная функция дает инфор-
мацию об устойчивости системы.
3) Нелинейные динамические системы описываются
нелинейными диф. уравнениями, в этих системах
обязательно есть нелинейность вида (
и др.), общих решений и анализа через переда-
точную функцию как правило не существует, по-
этому есть два метода :
а) численный метод (Эйлера и др.) (восстановле-
ние по точкам)
б) решение диф. уравнений методом фазового порт-
рета (качественная теория). (Это наглядный
путь выяснения поведения нелинейной системы)
Стохастические системы
Стохастика - случайность.
Определение: Динамическая система называется стохастичес-
кой , если она описывается дифференциальным
или разностным уравнением, в правую часть
которого входит случайный процесс.
Такую систему можно представить в виде линейного или не-
линейного четырехполюсника, на вход которого подается шум
Стохастическая
x(t) система X(t)
x(t)- шум
X(t)- выходной процесс
Составление модели любой динамической системы должно
в реальных условиях(например движение самолета или раке-
ты) составляться с помощью предварительных экспериментов
над движением реальной системы. (Как правило это диффе-
ренциальные или разностные уравнения) и в эти уравнения
вставляется некоторый шум, который является случайным
процессом.
Для дальнейшего составления модели используется иден-
тификация модели на основании эксперимента или экспери-
ментальных данных.
Идентификацией называется оценка коэффициентов разност-
ного уравнения и оценка параметров шума:
дисперсии, мат. ожидания, ковариации и др.
Идентификация служит для того, чтобы реальный процесс и
модель были близки.Получив модель мы имеем возможность,
используя эту модель, получить близкую к реальной карти-
не ситуацию движения системы и создать управление ситуа-
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
