цией по нашей модели.
Вывод: Модель нужна, чтобы на ЭВМ научиться проектировать
управляемые динамические системы для любых такти-
ческих ситуаций, известных из практики.
Правильно созданная модель - это максимум успеха в проек-
тировании эффективной систе-
мы. После создания и отработки модели стохастической ди-
намической системы создается аппаратура по этой модели,
которая проверяется на динамическом стенде.
Динамический стенд - 2й этап моделирования реальной ситу-
ации уже с аппаратурой.
3й этап состоит в проверке аппаратуры на полигоне.( На
борту транспортного или военного средства).
Моделирование случайных процессов с дискретным временем
(1) - выборка случайного процесса с дискретным
временем.
X(t) Процесс (1) в общем виде очень
трудно анализировать, этот про-
цесс, как правило, получен из
эксперимента. Этот реальный
процесс обычно аппроксимируется
другим процессом, который поз-
волит нам математически созда-
t вать модели, близкие к реально-
му процессу.
Такое создание моделей называется - аппроксимацией.
Сам аппроксимирующий процесс называется агрегат.
Марковская аппроксимация случайных процессов
Марковским процессом называется такой процесс, у которого
многомерная плотность вероятности
факторизуется в следующем виде : . Некоторые
значения фазовых переменных в n-мерном пространстве - это
Двумерная плотность Многомерная ФПВ несет всю ин-
вероятности формацию о случчайном процес-
W(x,y) се. Больше информации не су-
ществует.
Однако использовать эту мно-
гомерную ФПВ чрезвычайно сло-
жно на практике, поэтому час-
то прибегают к некоторым ап-
проксимациям процесса :
Y
X
Аппроксимировать - выбрать такие отсчеты
процесса в моменты времени , чтобы все были
независимы, тогда многомерная ФПВ факторизуется следую-
щим образом: - факторизация.
Однако при такой факторизации может потеряться информа-
ция о случайном процессе. Есть потеря информации для
произвольных отсчетов (кореллированность процесса).
Существует 2й способ аппроксимации - марковский способ
аппроксимации. Для марковских процессов многомерная ФПВ
факторизуется так :
(2) , где - ус-
ловная плотность вероятности.
Факторизация (2) позволяет сильно упростить математичес-
кие выкладки в задачах фильтрации и управления.
Определение : Процесс называется марковским, если выпол-
няется условие (2)
Оказывается, существует очень много генераторов марковс-
ких процессов. Мы переходим к их рассмотрению.
Процессы авторегрессии
Процесс авторегрессии - простой генератор марковского
процесса.
1. Односвязная регрессия
(3)
- задано.
- от генератора белого шума
- корреляция.
Если а<1, то ®0 имеем
устойчивый процесс.
a<1
Если а>1 - неустой-
чивый процесс 1 2 3 4 n
®¥ (P=1)
x(t) ¬a=0.9
a³1
¬a=0.3
1 2 3 4 5 n t
а=1 - модель взрыва. Если - гауссовский случайный про-
цесс, то легко доказать, что многомерная ФПВ факторизует-
ся.
а - коэффициент регрессии.
Если 0<a<1, то можно доказать, что а - это коэффициент
корреляций между и .
Если процесс изменяется очень медленно, то он сильно кор-
релирован. Коррелированными процессами очень легко управ-
лять и они очень легко анализируются и прогнозируются.
Генератор марковского процесса, реализующий авторегрессию
1-го порядка
(1)
Генератор
- марковский случайный процесс
- генератор случайных чисел (в ЭВМ)
i = 0,1,2...n
Утверждение (1) : процесс (1) является марковским.
Доказательство: Пусть заданная величина. Процедура (1) называется реккурсивной или иттеративной, рекурент-
ной.
(2)
Пусть ~, где 0-среднее, - дисперсия.
В формуле (2) разность имеет гауссовкий процесс распре-
деления или :
(4)
(3) получено из (4) и (2) заменив на . Поскольку
- независимые по условию, то имеем :
Утверждение доказано. Процесс (1) является марковским.
Структурная схема генератора марковского процесса
реализация рекурсии
a |¾¾| рис. 1
T
|¾¾| - линия задержки.
Это структурная схема 4х полюсника, которая реализует
генерацию марковского случайного процесса . Это генера-
тор с внешним возбуждением, который возбуждается с по-
мощью независимого гауссовского процесса .
Сетка дискретного времени:
|¾¾|¾¾|¾¾|¾¾® t
Утверждение (2)
На выходе 4х полюсника процесс ,i=1,2...n - коррелиро-
ван, с коэффициентом корреляции ‘a’.
Доказательство: Из (1) имеем , берем мат-
ожидание, ,
, - коэффициент корреляции.
Утверждение доказано.
Вывод: На вход схемы рис.1 идет некоррелированный слу-
чайный процесс , а следовательно независимый.
(если процесс гауссовский и некоррелированный, то
он независимый, для других процессов это неверно)
В природе наиболее часто встречается гауссовский
случайный процесс. На выходе схемы - зависимый
коррелированный марковский процесс, у которого
плотность факторизуется по условным плотностям.
- не факторизуется
- факторизуется
Процесс (1) называется односвязный марковский
процесс.
Замечание: Процесс (1) получен при дискретизации непре-
рывного линейного диф. уравнения 1-го порядка.
без учета стохастической правой час-
ти
На сетке дискретного времени имеем :
; - получаем обычную ( не
стохастическую) авторегрессию.
Tc+1=a
Авторегрессия 2-го порядка - двухсвязный процесс
Коэффициенты называются коэффициентами регрес-
сии. Уравнение (1) без стохастической правой части легко
получается из диф. уравнения 2-го порядка. Уравнение (1)
реализует генератор марковского процесса, который называ-
ется двухсвязным в зависимости от входного процесса .
генератор
марковского рис.2
двухсвязного
процесса
На вход генератора действует белый шум. На выходе - двух
связный марковский процесс.
g(f)
белый шум
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
