и учитывая, что , получим :
(4)
X(p) Y(p)
W(p)
Если правая часть передаточной функции простейшая -
, то воздействие обычное. Передаточ-
ная функция будет иметь вид :
(5) , где знамена-
тель дроби есть характеристическое уравне-
ние.
Пример : Дифференциальное уравнение 2-го порядка описы-
вается передаточной функцией :
(6)
Для нахождения решения дифференциального уравнения снача-
ла необходимо решить следующее уравнение :
Известно, что дифференциальное уравнение 2-го порядка
имеет решение в виде комплексной экспоненты или действий
над ней. (Это зависит от корней характеристического урав-
нения). Если корни комплексные, тогда решение будет :
(7) wt+wt)
Если корни ±a + jw решение будет (7)¢
(7) и (7)’ - решение в виде нарастающей или затухающей синусоиды, либо обычной синусоиды, если a=0.
Устойчивость линейных систем
Линейная система полностью описывается передаточной функ-
цией, которая представляет собой :
в комплескной плоскости
p=s+jw . Эти полиномы получены из дифференциальных урав-
нений путем преобразования Лапласа.
Ставится проблема: как исследовать систему с помощью W(p)
Оказывается, что это проще сделать чем исследовать диффе-
ренциальные уравнения. Исследование по W(p) производится с помощью анализа полюсов и нулей.
Полюсом называется то значение корня уравнения в знаменателе, при котором Q(p)=0.
Количество корней определяется степенью полинома. Если
корни комплексно-сопряженные, то в точке, где Q()=0,
W(p)=¥ - полюс.
Нулями W(p) называются точки на комплексной плоскости,
где полином P(p)=0.
Количество нулей определяется порядком поли-
нома.
jw
s > 0 полюсы
сопряж. пара ®
s > 0
- полюсы (корни характеристического урав-
нения). Если корни комплексные, то они сопряженные.
Выводы :
1. Если корни характеристического уравнения Q(p)
находятся в левой полуплоскости , то система ус-
тойчива. (wt+j) - решение для комплексных
корней.
2. Если s >0 , то решение будет (wt+j).
Система неустойчива.
Расположение нулей определяет корректирующие свойства системы, т.е. оказывают воздействие на переходной процесс
Если нули в левой полуплоскости, то такая система называется минимально фазовой.
Если нули в правой полуплоскости - нелинейно фазовая
система.
Если полюсы на мнимой оси, т.е. s=0, то система нахо-
дится в колебательном режиме (Система без потерь).
Передаточная функция линейной системы на мнимой оси
В этом случае после преобразований получим:
W(jw)=A(w)+jB(w) -
Передаточная функция есть комплексное число.
Замечание: Не путать с корнями на мнимой оси.
Оказывается очень удобно исследовать W(jw)на мнимой оси не с помощью нулей и полюсов, а с использованием комплек-
сной передаточной функции.
Комплексная функция :
АЧХ - четная функция:
ФЧХ - нечетная функция:
АЧХ
ФЧХ
АЧХ показывает селективность системы по
амплитудному спектру.
ФЧХ показывает - какой сдвиг фаз получает на
выходе фильтра каждая гармоника.
Замечание: Известно, что спектр сигнала (по
Фурье) удобно представлять в ком-
плексной виде, т.е. у спектра есть АЧХ (рас-
пределение гармоник по амплитуде от частоты), и ФЧХ (рас-
пределение фаз).
Выводы: Комплексное представление спектра или передаточ-
ной функции W(p) очень удобно радиотехнике. Это
позволяет компактно записать АЧХ и ФЧХ.
Передаточная функция систем радиоавтоматики
1)
вх ¼¼ вых
Передаточная функция последовательно соединенных звень-
ев :
2)
Передаточная функция парал-
лельно соединенных звеньев:
вх вых
: :
3) y(t) Передаточная функция системы
x(t) ¾Ä¾¾¾ ¾¾¾¾ с обратной связью:
Типовые звенья радиоавтоматики
1) Инерционное звено
Передаточная функция :
C
вх R вых ;
W(w) АЧХ
K
j (w)= - arctgTw ФЧХ
0 w
-45°
-90°
2) Интегрирующее звено
W(w) АЧХ W(p)=
; ФЧХ :
3) Дифференцирующее звено
R
R L
W(w) АЧХ Передаточная функция :
W(p)=Kp
АЧХ: W(w)=Kw
ФЧХ: j(w)=
4) Форсирующее звено
Передаточная функция:
K АЧХ :
w ФЧХ :
0
j (w)
5) Запаздывающее звено
АЧХ: =1 Передаточная функция :
ФЧХ: j(w)=wt
j(w) ФЧХ
1
Запаздывающее звено называется линией задержки, где
t=T - время запаздывания ЛЗ. j(w)=wT;
5) Колебательное звено
АЧХ - параметр затухания
<1 - устойчивая система
>1 - самовозбуждающаяся
система
6) Неминимально фазовое звено
АЧХ при a=b :
; W(w)=1
ФЧХ при а=b : АЧХ
Цифровые системы автоматического управления
Задан процесс: Будем рассматривать про-
y(t) цесс y(t) в дискретные мо-
менты времени.
Такой процесс называется с
дискретным временем.
Значения этого процесса в
дискретные моменты :
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
