0 f f
В зависимости от коэффициентов ны выходе будут раз-
личные процессы. Процесс (1) получается из линейного диф.
уравнения 2-го порядка, если это диф. уравнение рассмат-
ривать на временной сетке (дискретна во времени).
Известно, что диф. уравнение 2-го порядка имеет реше-
ние в виде комплексной экспоненты, если корни характерис-
тического уравнения комплексные, аналогично для некоторых
значений коэффициентов , процесс авторегрессии будет
иметь вид стохастической синусоиды.
Генератор двухсвязного марковского процесса
|¾¾| |¾¾|
T - период дискретизации
Изменение по синусоиде называется синусоидальный тренд.
Марковский процесс 2-го порядка более богатый, чем 1-го,
с помощью него можно моделировать более сложные процессы.
Авторегрессия m-го порядка
(2)
- возбуждающий белый шум.
Процесс (2) получен из диф. уравнения m-го порядка путем
дискретизации. Это марковский процесс с дискретным време-
нем.
Этот процесс значительно более информативен, чем ра-
нее рассмотренные, ибо он может моделировать сложномоду-
лированные случайные процессы. Он может модулировать АМ,
ЧМ, ФМ путем подбора , а также подбором мож-
но идентифицировать очень многие случайные процессы ре-
ально существующие на практике, например : хорошо моду-
лируется движение летательнвх аппаратов при маневре (рег-
рессия m=6¸16), речь, полет космического корабля, посадка
на планету.Стохастическая модель удобна потому, что она адекватна реальным ситуациям.
Генератор m-связного марковского процесса
|¾¾| ...... |¾¾| |¾¾|
Разностные модели на примере модели 2-го порядка
(3) - разностная модель 2-го порядка
- приращение, характеризует скорость изменения
процесса
Модель с приращением удобна в том
плане, что не требуется заранее
знать коэффициенты регрессии.
Разностные модели 3-го порядка
(4)
- 1-я разность
- 2-я разность
1-я разность характеризует скорость изменения случайного
процесса.
2-я разность характеризует ускорение.
Модель (3) и (4) очень широко иcпользуется на практи-
ке, т.к. здесь почти нет коэффициентов, которые нужно
идентифицировать ( а и ), они легко подбираются на ЭВМ
по методу наименьших квадратов. Для этого надо иметь ре-
альный процесс отсчетов , модель (4) и нужно воспользо-
ваться следующей формулой МНК/метод наименьших квадратов/
min где, - модель,
- реальный процесс
Суть МНК состоит в следующем :
Есть m-отсчетов реального процесса, есть m-отсчетов
модели, составляется сумма квадратов и подбираются пара-
метры (а,) так, чтобы минимизировать эту сумму (делает-
ся это на ЭВМ)(метод перебора) но в авторегрессии m-го
порядка. Сделать это очень сложно.
Модели скользящего среднего
Пусть - независимая случайная величина, с произвольным распределением (очень часто гауссовское распределение)
М=0 ; М= ; (процесс не коррелирован)
Тогда процесс
(1)
называется процессом скользящего среднего. Этот
процесс сформирован полностью из шума (из белого шума)
путем сдвига и весового суммирования.
( - весовые коэффициенты). Сумма (1) генерирует
процесс . Процесс - коррелированный марковский
процесс.
Генератор скользящего среднего для формулы (1)
a
i
x
: i
:
Модель авторегрессии и скользящего среднего
авторегрессия скользящее среднее
генератор генератор
случайного сигнала авторегресии
Здесь - белый шум;
- марковский(модельный)процесс, n=1,2....
Между генераторами процесс коррелирован.
Многомерная марковская модель
(1) , где
; ;
Это самая распространенная модель
В модели (1) шумы характеризуются матрицей ковариации в
отличие от авторегрессии, под которой понимается следую-
щее:
- столбец
- строка
Элементы матрицы состоят из корреляции внутри столбика
шума. Столбики между собой коррелированы.
Модель нелинейной регрессии
(3)
В формулах (3)(матричная форма записи),и (4)(скалярная
форма записи) индексы при ‘Х’ это не степени, а номера в
формуле столбика.
(3) и (4) - самая информативная модель , все предыдущие
модели получаются как частный случай из этой модели. Нап-
ример модель речи линейная и нелинейная, но нелинейная
более точная.
Глава 4
Динамические системы наблюдаемые на фоне
шумов
Одномерные динамические системы и фильтр Калмана
(1) ;
Шумы - называются шумами наблюдения (для активных по-
мех). Задачу фильтрации будем решать методом наименьших
квадратов. Задача фильрации требует уменьшить .
Вводим эмпирический риск :
- Это есть классическая запись метода наименьших квадра-
тов . Эмпирический риск назван так потому, что в риск
входят наблюдения. Согласно формуле (2) требуется
минимизировать риск, а следовательно уменьшить влияние
шумов.
Если бы не была придумана модель уравнения (1), тогда
невозможно было бы записать риск . Необходимо
так выбрать , чтобы получить минимум по всей траектории.
Эти будем обозначать : - оптимальная траектория
Она получается путем дифференцирования , i=1,2...n
Проделав математические операции получаем одномерный
фильтр Калмана.
(3) ; - задано
n=1,2...
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
