По утверждению 13.4, для каждой начальной конфигурации существует конфигурация такая, что все процессы в S приняли решение и ; то же справедливо и для T. Действие алгоритма внутри группы из N-t процессов определяет отношение векторов из N-t начальных идентификаторов к векторам из N-t новых имен. Так как начальное пространство имен неограниченно, и новые имена получаются из ограниченного диапазона, то имеются непересекающиеся входы, которые отображаются на перекрывающиеся выходы. То есть, имеются входные векторы (длины N-t) и такие, что для всех i, j, но им соответствуют векторы выхода и такие, что , для некоторых i, j.
Некорректное выполнение теперь создается следующим образом. Начальная конфигурация имеет входы в группе S и в группе T; заметьте, что все начальные имена различны (начальные имена вне обеих групп могут быть выбраны произвольно). Пусть - последовательность шагов, которыми группа T достигает, из , конфигурации , в которой процессы в T остановились (приняли решение) на именах . По утверждению 13.1, эта последовательность все еще применима в конфигурации , в которой процессы в S остановились на именах . В , два процесса остановились на одном и том же имени (потому что ), что указывает на противоречивость алгоритма. o
Далее предполагается, что t < N/2.
var : set of identities;
: integer;
begin ; : = 0; shout <set, >;
while true
do begin receive<set, V>
if then
begin ;
if and then
(* впервые не изменялось: принять решение*)
end
else if then
skip (*Игнорировать “старую” информацию*)
else (*новый вход; обновить Vp и начать счет заново*)
begin if then else ;
; shout<set, >
Алгоритм 13.2 Простой алгоритм переименования.
Алгоритм переименования. В алгоритме переименования (Алгоритм 13.2), процесс p сохраняет множество входов процесса, которые p видел; первоначально, содержит только . Каждый раз, когда p получает множество входов, включая те, которые являются новыми для p, расширяется новыми входами. При старте и каждый раз, когда расширяется, p “выкрикивает” свое множество. Как видно, множество растет только в течение выполнения, т.е., последующие значения полностью упорядочиваются при включении, и, кроме того, содержит самое большее N имен. Следовательно, процесс p “выкрикивает” свое множество самое большее N раз, что показывает, что алгоритм завершается и что сложность по сообщениям ограничена .
Далее, p считает (в переменной ) сколько раз он получил копии своего текущего множества . Первоначально равна 0, и увеличивается каждый раз, когда получается сообщение, содержащее . Получение сообщения <set, V> может вызвать рост , что требует сброса . Если новое значение равняется V (то есть, если V - строгое надмножество старого ), устанавливается в 1, иначе в 0.
Говорят, что процесс p, достигает устойчивого множества V если становится равным N-t, когда значение - V. Другими словами, p получил в (N-t)-й раз текущее значение V Vp.
Лемма 13.12 Устойчивые множества полностью упорядочены, то есть, если q достигает устойчивого множества и r достигает устойчивого множества , то или .
Доказательство. Предположим, что q достигает устойчивого множества и r достигает устойчивого множества . Это подразумевает, что q получил <set, > от N-t процессов и r получил <set, > от N-t процессов. Так как 2(N-t) > N, то есть по крайней мере один процесс, допустим p, от которого q получил <set, > и r получил <set, >. Следовательно, как так и - значения , что означает, что одно включено в другое. o
Лемма 13.13 Каждый корректный процесс по крайней мере однажды достигает устойчивого множества в каждом законном t-аварийном выполнении.
Доказательство. Пусть p - корректный процесс; множество может только расширяться, и содержит самое большее N входных имен. Следовательно, для достигается максимальное значение . Процесс p “выкрикивает” это значение, и сообщение <set, > получается каждым корректным процессом, что показывает, что каждый корректный процесс в конечном счете имеет надмножество .
Однако, это надмножество не строгое; иначе корректный процесс послал бы строгое надмножество к p, что противоречит выбору (как самого большого множества когда-либо побывавшего в p). Следовательно, каждый корректный процесс q имеет значение по крайней мере один раз при выполнении, и следовательно каждый корректный процесс посылает p сообщение <set, > в течение выполнения. Все эти сообщения получаются при выполнении, и, поскольку никогда не увеличивается за пределы , они все подсчитываются и заставляют стать устойчивым в p. o
После достижения устойчивого множества V впервые, процесс p останавливается на паре (s, r), где s - размер V, и r - положение в V. Устойчивый множество было получено от N-t процессов, и следовательно содержит по крайней мере N-t входных имен, что показывает . Положение в множестве размера s удовлетворяет . Число возможных решений, следовательно, , что равняется ; если нужно, можно использовать фиксированное отображение пар на целые числа в диапазоне 1,..., K (Упражнение 13.5).
Теорема 13.14 Алгоритм 13.2 решает проблему переименования с выходным пространством имен размера .
Доказательство. Так как, в любом законном t-аварийном выполнении каждый корректный процесс достигает устойчивого множества, каждый корректный процесс останавливается на новом имени. Чтобы показать, что все новые имена различны, рассмотрим устойчивые множества и , достигаемые процессами q и r соответственно. Если эти множества имеют различные размеры, решения q и r различны, потому что размер включается в решение. Если множества имеют один и тот же размер, то по Лемме 13.12, они равны; тогда q и r имеют различный ранг в множестве, что снова показывает, что их решения различны. o
Обсуждение. Заметьте, что процесс не завершает Алгоритм 13.2 после принятия решения о своем имени; он продолжает алгоритм, чтобы "помочь" другим процессам тоже принять решение. Aттийя и другие [ABND+90] показывают, что это необходимо, потому что алгоритм должен справиться с ситуацией, когда некоторые процессы настолько медленны, что выполняют первый шаг после того, как некоторые другие процессы уже приняли решение.
Простой алгоритм, представленный здесь не самый лучший в отношении размера пространства имен, используемого для переименования. Aттийя и другие [ABND+90] привели более сложный алгоритм, который назначает имена в диапазоне от 1 до N + t. Результаты следующего подраздела предполагают нижнюю границу размера нового пространства имен для аварийно-устойчивого переименования N + 1.
Aттийя и другие предложили также алгоритм для переименования, сохраняющего порядок. Он осуществляет переименование на целые числа в диапазоне от 1 до , что, как было показано, является самым маленьким размером пространства имен, позволяющего t-аварийно-устойчивое переименование, сохраняющее порядок.
13.3.2 Расширение Результатов Невозможности
Результат о невозможности согласия (Теорема 13.8) был обобщен Мораном и Вольфшталом [MW87] для более общих проблем решения. Граф решения задачи T - граф , где и
E = {(, ): и отличаются точно в одном компоненте}.
Задача T называется связной, если - связный граф, и несвязной иначе. Моран и Вольфштал предположили, что входной граф задачи T (определенный аналогично графу решения) связный, то есть, как в доказательстве Леммы 13.6 мы можем двигаться между любыми двумя входными конфигурациями, изменяя по порядку входы процесса. Кроме того, результат невозможности был доказан для не-тривиальных алгоритмов, то есть, алгоритмов, которые удовлетворяют, в дополнение к (1) завершению и (2) непротиворечивости,
(1) Нетривиальность. Для каждого имеется достижимая конфигурация, в которой процессы остановились на (приняли решение) .
Теорема 13.15 Нетривиального 1-аварийно-устойчивого алгоритма решения для несвязной задачи T не существует.
Доказательство. Предположим, напротив, что такой алгоритм, A, существует; из него можно получить алгоритм согласия А', что противоречит Теореме 13.8. Чтобы упростить аргументацию, мы полагаем, что содержит два связных компонента, "0" и "1".
Алгоритм А’ сначала моделирует A, но вместо того, чтобы остановиться на значении d, процесс “выкрикивает” <vote, d> и ждет получения N-1 сообщений голосования. Тупика не возникает, потому что все корректные процессы принимают решение в A; следовательно по крайней мере N-1 процессов “выкрикивают” сообщение голосования.
После получения сообщений, у процесса p есть N-l компонентов вектора в . Этот вектор можно расширить значением процесса, от которого голос не был получен так, чтобы весь вектор находился в . (Действительно, непротиворечивое решение принято этим процессом, или все еще возможно.)
Теперь заметим, что различные процессы могут вычислять различные расширения, но эти расширения принадлежат одному и тому же связному компоненту графа . Каждый процесс, который получил N-1 голосов, останавливается на (принимает решение) имени связанного компонента, которому принадлежит расширенный вектор. Остается показать, что А' является алгоритмом согласия.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90
