Утверждение 13.1 Пусть последовательности и применимы в конфигурации , и пусть ни один процесс не участвует одновременно в и , тогда применима в , применима в , и .
Доказательство. Следует из повторного применения Теоремы 2.19. o
Процесс имеет входную переменную , доступную только для чтения, и выходной регистр однократной записи с начальным значением . Входная конфигурация полностью определяется значением для каждого процесса . Процесс может принять решение о значении (обычно 1 или 0) записью его в ; начальное значение не является значением решения. Предполагается, что корректный процесс исполняет бесконечно много событий при законном выполнении; в крайнем случае, процесс всегда может выполнять (возможно пустое) внутреннее событие.
Определение 13.2 t-аварийное законное выполнение - выполнение, в котором по меньшей мере N-t процессов исполняют бесконечно много событий, и каждое сообщение, посылаемое корректному процессу, получается. (Процесс корректен, если исполняет бесконечно много событий.)
Максимальное число сбойных процессов, с которым может справиться алгоритм, называется способностью восстановления алгоритма, и всегда обозначается . В этом разделе демонстрируется невозможность существования асинхронного, детерминированного алгоритма со способностью восстановления 1.
Определение 13.3 1-аварийно-устойчивый алгоритм согласия - алгоритм, удовлетворяющий следующим трем требованиям.
(1) Завершение. В каждом 1-аварийном законном исполнении, все корректные процессы принимают решение.
(2) Согласованность. Если в достижимой конфигурации и для корректных процессов и , то .
(3) Нетривиальность. Для и для существуют достижимые конфигурации, в которых для некоторого .
Для конфигурация называется v-решенной, если для некоторого ; конфигурация называется решенной, если она 0-решенная или 1-решенная. В -решенной конфигурации какой-нибудь процесс принял решение . Конфигурация называется v-валентной, если все решенные конфигурации, достижимые из нее, v-решенны. Конфигурация называется бивалентной, если из нее достижимы как 0-валентные, так и 1-валентные конфигурации, и унивалентной, если она либо 1-валентная, либо 0-валентная. В унивалентной конфигурации, хотя никакое решение не было обязательно принято никаким процессом, окончательное решение уже неявно определено.
Конфигурация -устойчивого протокола называется развилкой, если существует множество (самое большее) из процессов и конфигурации и такие, что , , и -валентна. Неформально, - развилка, если подмножество из процессов может добиться 0-решенности так же, как и 1-решенности. Следующее утверждение формально фиксирует, что в любой момент оставшиеся процессы должна вынести аварию самое большее процессов.
Утверждение 13.4 Для каждой достижимой конфигурации t-устойчивого алгоритма и каждого подмножества S по меньшей мере из N-t процессов существует решенная конфигурация такая, что .
Доказательство. Пусть и удовлетворяют условию и рассмотрим выполнение, которое достигает конфигурации и содержит бесконечно много событий в каждом процессе из впоследствии (и никаких шагов процессов не из ). Это выполнение - t-аварийное законное, и процессы в корректны; следовательно они достигают решения o
Лемма 13.5 Достижимой развилки не существует.
Доказательство. Пусть - достижимая конфигурация и - подмножество самое большее из процессов.
Пусть будет дополнением , т.е., . В по меньшей мере N-t процессов, следовательно существует решенная конфигурация такая, что (Утверждение 13.4). Конфигурация либо 0-, либо 1-решенная; положим, что она 0-решенная.
Сейчас будет показано, что ни для какой 1-валентной ; пусть - любая такая конфигурация, что . Так как шаги в и заменяются (Утверждение 13.1), есть конфигурация , которая достижима и из , и из. Так как - 0-решенна, то и- тоже, что показывает не 1-валентность . o
13.1.2 Доказательство невозможности
Сначала, используя нетривиальность проблемы, покажем что существует бивалентная начальная конфигурация (Лемма 13.6). Вполедствии будет показано, что начиная с бивалентной конфигурации, каждый доступный шаг можно исполнять без перехода в унивалентную конфигурацию (Лемма 13.7). Этого достаточно, чтобы показать невозможность алгоритмов согласия (Теорема 13.8). В дальнейшем, пусть А - 1-аварийно-устойчивый алгоритм согласия.
Лемма 13.6 Для А существует бивалентная начальная конфигурация.
Доказательство. Так как А нетривиален (Определение 13.3), то есть достижимые 0- и 1-решенные конфигурации; пусть и - начальные конфигурации такие, что -решенная конфигурация достижима из .
Если , эта начальная конфигурация бивалентна и результат имеет силу. Иначе, есть начальные конфигурации и такие, что -решенная конфигурация достижима из , и и различаются входом одного процесса. Действительно, рассмотрим последовательность начальных конфигураций, начинающуюся с и заканчивающуюся , в которой каждая следующая начальная конфигурация отличается от предыдущей в одном процессе. (Эта последовательность получается инвертированием входных битов одного за другим.) Из первой конфигурации в последовательности, , достижима 0-решенная конфигурация, и из последней, , достижима 1-решенная конфигурация. Так как решенная конфигурация достижима из каждой начальной конфигурации, описанные и можно найти в последовательности. Пусть - процесс, в котором и различны.
Рассмотрим законное выполнение, начинающееся с , в которой не делает шагов; это выполнение 1-аварийно законное и следовательно достигает решенной конфигурации . Если 1-решенная, бивалентна. Если 0-решенная, заметьте, что отличается от только в , а не делает шагов в выполнении; следовательно достижима из , что показывает бивалентность . (Более точно, конфигурация достижима из , где отличается от только в состоянии ; следовательно 0-решенная.) o
Чтобы поñòðîèòь законное выполнение без принятия решения мы должны показать, что каждый процесс может сделать шаг, и что каждое сообщение может быть получено не обуславливая принятие решения. Пусть шаг s обозначает получение и обработку отдельного сообщения или спонтанное действие (внутреннее или посылки) отдельного процесса. Состояние процесса, делающего шаг, может привести к различным событиям. Прием сообщения применим, если оно в пути, и спонтанный шаг всегда применим.
Лемма 13.7 Пусть - достижимая бивалентная конфигурация и s - применимый шаг для процесса p в . Существует последовательность событий такая, что s применим в , и бивалентна.
Доказательство. Пусть С - множество конфигураций, достижимых из без применения s, т.е., С = {: s не происходит в }; s применим в каждой конфигурации С (напомним, что s - шаг, а не отдельное событие).
В С есть конфигурации и такие, что из достижима v-решенная конфигурация. Чтобы убедится в этом, заметим, что, т.к. бивалентна, из нее достижимы v-решенные конфигурации для v =0,1. Если (т.е. для достижения решенной конфигурации s не применялся), заметим, что , тем не менее, v-решенная, поэтому выберем . Если (т.е. для достижения решенной конфигурации s применялся), выберем как конфигурацию, из которой применялся s.
Если , - искомая бивалентная конфигурация. Предположим, что , и рассмотрим конфигурации на путях от до и . Две конфигурации на этих путях называются соседними, если одна получается из другой за один шаг. Так как 0-решенная конфигурация достижимаа из и 1-решенная конфигурация достижима из , то
(1) на путях есть конфигурация такая, что бивалентна; или
(2) есть соседи и такие, что 0-валентна и - 1-валентна.
В первом случае - искомая бивалентная конфигурация и лемма доказана. Во втором случае, одна конфигурация из и - развилкой, что является противоречием. Действительно, предположим, что получена за один шаг из , т.е., для события e в процессе q. Теперь - это и, следовательно, 1-валентна, но не 1-валентна, т.к. уже 0-валентна. Итак, е и s не заменяются, что подразумевает (Теорема 2.19) , что p = q, но тогда достижимая конфигурация удовлетворяет и . Так как первая 0-валентна, а последняя 1-валенттна, - развилка, что является противоречием. o
Теорема 13.8 Асинхронного, детерминированного, 1-аварийно-устойчивого алгоритма согласия не существует.
Доказательство. Если предположить, что такой алгоритм существует, можно построить законное выполнение без принятия решения, начиная с бивалентной начальной конфигурации .
Когда построение дойдет до конфигурации , выберем в качестве применимый шаг, который был применим самое большое число раз. По предыдущей лемме, выполнение можно расширить так, что исполняется и достигается бивалентная конфигурация .
Такое построение дает бесконечное законное выполнение, в котором все процессы корректны, но решение никогда не будет принято. o
13.1.3 Обсуждение
Вывод утверждает, что не существует асинхронных, детерминированных, 1-аварийно-устойчивых алгоритмов решения для проблемы согласия; это исключает алгоритмы для класса нетривиальных проблем. (см. Подраздел 12.2.2).
К счастью, некоторые предположения, лежащие в основе результата Фишера, Линча и Патерсона, можно выразить явно, и результат, как оказывается, очеть чувствителен к ослаблению любого из них. Несмотря на вывод о невозможности, многие нетривиальные проблемы имеют решения, даже в асинхронных системах и где процессы могут отказывать.
(1) Ослабленная модель отказов. Раздел 13.2 рассматривает модель отказов изначально-мертвых процессов, которая слабее, чем модель аварий, и в этой модели согласие и выборы детерминированно достижимы.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90
