Если порядок сообщений в канале может быть изменен (т.е. канал - не FIFO), процесс может получить сообщение <tok,r> от соседа прежде чем он получил сообщение <wakeup> от этого соседа. В этом случае сообщение <tok,r> может быть временно сохранено или обработано как сообщения <tok,r>, прибывающие позднее.
Количество сообщений может быть уменьшено с помощью двух модификаций. Во-первых, можно устроить так, чтобы не-инициатор не посылал сообщение <wakeup> процессу, от которого он получил первое сообщение <wakeup>. Во-вторых, сообщение <wakeup>, посылаемое листом, может быть объединено с сообщением <tok,r>, посылаемым этим листом. С этими изменениями количество сообщений, требуемое алгоритмом, уменьшается до 3N-4+k, где k - количество нелистовых стартеров [Tel91b, с.139].
Выбор с помощью фазового алгоритма. Фазовый алгоритм можно использовать для выбора, позволив ему вычислять наименьший идентификатор за одну волну, как в Теореме 6.12.
Теорема 7.3 С помощью фазового алгоритма (Алгоритм 6.7) можно провести выбор в произвольных сетях, используя O(D*|E|) сообщений и O(D) единиц времени.
Алгоритм Пелега [Peleg; Pel90] основан на фазовом алгоритме; он использует O(D*|E|) сообщений и O(D) времени, но не требует знания D, т.к. включает в себя вычисление диаметра.
Выбор с помощью алгоритма Финна. Алгоритм Финна (Алгоритм 6.9) не требует, чтобы диаметр сети был известен заранее. Длина O(N*|E|) сообщений, используемых в алгоритме Финна, гораздо больше, чем допускаемая предположениями в этой главе. Следовательно, каждое сообщение в алгоритме Финна должно считаться за O(N) сообщений, откуда сложность сообщений составляет O(N2|E|).
7.2 Кольцевые сети
В этом разделе рассматриваются некоторые алгоритмы выбора для однонаправленных колец. Задача выбора в контексте кольцевых сетей была впервые изложена ЛеЛанном [LeLann; LeL77], который также дал решение со сложностью сообщений O(N2). Это решение было улучшено Чангом (Chang) и Робертсом (Roberts) [CR79], которые привели алгоритм с наихудшей сложностью O(N2), но со средней сложностью только O(N logN). Решения ЛеЛанна и Чанга-Робертса обсуждаются в Подразделе 7.2.1. Вопрос о существовании алгоритма с наихудшей сложностью O(N logN) оставался открытым до 1980 г., когда такой алгоритм был приведен Hirschberg и Sinclair [HS80]. В отличие от более ранних решений, в решении Hirschberg-Sinclair требуется, чтобы каналы были двунаправленными. Предполагалось, что нижняя граница для однонаправленных колец равна W(N2), но Petersen [Pet82] и Dolev, Klawe и Rodeh [DKR82] независимо друг от друга предложили решение, составляющее O(N log N) для однонаправленного кольца. Это решение рассматривается в Подразделе 7.2.2.
Алгоритмы были дополнены соответствующими нижними границами примерно в то же время. Нижняя граница для наихудшего случая для двунаправленных колец, равная » 0.34N logN сообщений, была доказана Бодлендером [Bodlaender; Bod88]. Pachl, Korach и Rotem [PKR84] доказали нижние границы в W(N logN) для средней сложности, как для двунаправленных так и для однонаправленных колец. Их результаты по нижним границам будут рассмотрены в Подразделе 7.2.3.
7.2.1 Алгоритмы ЛеЛанна и Чанга-Робертса
В алгоритме ЛеЛанна [LeL77] каждый инициатор вычисляет список идентификаторов всех инициаторов, после чего выбирается инициатор с наименьшим идентификатором. Каждый инициатор посылает маркер, содержащий его идентификатор, по кольцу, и этот маркер передается всеми процессами. Предполагается, что каналы подчиняются дисциплине FIFO, и что инициатор должен сгенерировать свой маркер до того, как он получит маркер другого инициатора. (Когда процесс получает маркер, он после этого не инициирует алгоритм.) Когда инициатор p получает свой собственный маркер, маркеры всех инициаторов прошли через p, и p выбирается лишь в том случае, если p - наименьший среди инициаторов; см. Алгоритм 7.2.
var Listp : set of P init {p} ;
statep ;
begin if p - инициатор then
begin statep := cand ; send <tok,p> to Nextp ; receive <tok,q> ;
while q ¹ p do
begin Listp := Listp È {q} ;
send <tok,q> to Nextp ; receive <tok,q> ;
end ;
if p = min (Listp) then statep := leader
else statep := lost
end
else repeat receive <tok,q> ; send <tok,q> to Nextp ;
if statep = sleep then statep := lost
until false
Алгоритм 7.2 Алгоритм выбора ЛеЛанна.
Теорема 7.4 Алгоритм ЛеЛанна (Алгоритм 7.2) решает задачу выбора для колец, используя O(N2) сообщений и O(N) единиц времени.
Доказательство. Так как порядок маркеров в кольце сохраняется (из предположения о каналах FIFO), и инициатор q отправляет <tok,q> до того как получит <tok,p>, то инициатор p получает <tok,q> прежде, чем вернется <tok,p>. Отсюда следует, что каждый инициатор p заканчивается со списком Listp, совпадающим с множеством всех инициаторов, и единственным выбираемым процессом становится инициатор с наименьшим идентификатором. Всего получается не больше N маркеров и каждый делает N шагов, что приводит к сложности сообщений в O(N2). Не позднее чем через N-1 единицу времени после того, как первый инициатор отправил свой маркер, это сделали все инициаторы. Каждый инициатор получает свой маркер обратно не позднее, чем через N единиц времени с момента генерации этого маркера. Отсюда следует, что алгоритм завершается в течение 2N-1 единиц времени.
Все не-инициаторы приходят в состояние проигравший, но навсегда остаются в ожидании сообщений <tok,r>. Ожидание может быть прервано, если лидер посылает по кольцу специальный маркер, чтобы объявить об окончании выбора.
Алгоритм Чанга-Робертса [CR79] улучшает алгоритм ЛеЛанна, устраняя из кольца маркеры тех процессов, для которых очевидно, что они проиграют выборы. Т.е. инициатор p удаляет из кольца маркер <tok,q>, если q > p. Инициатор p становится проигравшим, когда получает маркер с идентификатором q < p, или лидером, когда он получает маркер с идентификатором p; см. Алгоритм 7.3.
var statep ;
begin statep := cand ; send <tok,p> to Nextp ;
repeat receive <tok,q> ;
if q = p then statep := leader
else if q < p then
begin if statep = cand then statep := lost ;
send <tok,q> to Nextp
until statep = leader
(* Только лидер завершает выполнение программы. Он передает сообщение всем процессам, чтобы сообщить им идентификатор лидера и завершить их *)
Алгоритм 7.3 Алгоритм выбора Чанга-Робертса.
Теорема 7.5 Алгоритм Чанга-Робертса (Алгоритм 7.3) решает задачу выбора для колец, используя Q(N2) сообщений в наихудшем случае и O(N) единиц времени.
Доказательство. Пусть p0 - инициатор с наименьшим идентификатором. Все процессы являются либо не-инициаторами, либо инициаторами с идентификаторами большими p0, поэтому все процессы передают дальше маркер <tok,p0>, отправленный p0. Следовательно, p0 получает свой маркер обратно и становится выбранным.
Не-инициаторы не могут быть выбраны, т.к. все они приходят в состояние проигравший самое позднее, когда через них передается маркер p0. Инициатор p с p > p0 не может быть выбран; p0 не передаст дальше маркер <tok,p>, поэтому p никогда не получит свой собственный маркер. Такой инициатор p приходит в состояние проигравший самое позднее, когда через него передается маркер <tok,p0>. Таким образом доказано, что алгоритм решает задачу выбора.
Рис.7.4 Наихудший случай для алгоритма Чанга-Робертса.
Всего используется не более N различных маркеров и каждый маркер делает не более N переходов, что подтверждает границу сложности сообщений O(N2). Чтобы показать, что в самом деле можно использовать W(N2) сообщений, рассмотрим начальную конфигурацию, где все идентификаторы расположены в возрастающем порядке вдоль кольца (см. Рис. 7.4) и каждый процесс является инициатором. Маркер каждого процесса удаляется из кольца процессом 0, таким образом маркер процесса i совершает N-i переходов, откуда следует, что количество пересылок сообщений равно .
Алгоритм Чанга-Робертса не улучшает алгоритм ЛеЛанна в отношении временной сложности или наихудшего случая сложности сообщений. Улучшение касается только среднего случая, где усреднение ведется по всевозможным расположениям идентификаторов вдоль кольца.
Теорема 7.6 Алгоритм Чанга-Робертса в среднем случае, когда все процессы являются инициаторами, требует только O(N logN) пересылок сообщений.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90
