Если ни один из этих двух случаев не происходит, фрагмент F должен ждать, пока q посылает сообщение áconnect, Lñ, или уровень фрагмента q увеличился достаточно, чтобы делать Случай применимым.
Правильность и сложность. Из детального описания алгоритма должно быть ясно, что ребро через которое фрагмент посылает сообщение áconnect, Lñ является действительно исходящим ребром фрагмента с наименьшим весом. Вместе с Суждением 7.19 это означает, что MST вычислен правильно, если каждый фрагмент действительно посылает такое сообщение и присоединяется к другому фрагменту, несмотря на ожидание, вызванного алгоритмом. Наиболее сложное сообщение содержит вес одного ребра, один уровень (до logN) и постоянное числа бит, чтобы указать тип сообщения и состояние узла.
Теорема 7.21 Gallager-Humblet-Spira алгоритм (7.11/7.12 7.10/ Алгоритма) вычисляет минимальное дерево охватов, используя не более 5 N log N + 2½E½ сообщений.
Доказательство. Тупик потенциально возникает в ситуациях, где узлы или фрагменты должны ждать, пока некоторое условие не происходит в другом узле или фрагменте. Ожидание, вставляное для сообщения á report, wñ на основном ребре не ведет к тупику, потому что каждый основной узел в конечном счете получает сообщения от всех сыновей (если фрагмент в целом не ждет другой фрагмент), после чего сообщение будет обработано.
Рассмотрите случай когда сообщение фрагмента F1 = (level1, name1) достигает узла фрагмента F2 = (level2, name2). Сообщение ( connect, level1 ) должно ждать, если level1 ³ level2 и сообщение ( connect, level2 ) не было послано через то же самое ребро фрагментом F2, см. (2). Сообщение( test, level1, narne1 ) должно ждать, если level1 > level2, см. (5). Во всех случаях, где F1 ждет F2, верно одно из следующих утверждений.
(1) level 1 > level2 ,
(2) level1 = level2 Ù w(eF1) > w(eF2);
(3) level1 = level2 Ù w(eF1) = w(eF2) и F2 все еще ищет исходящее ребро с наименьшим весом. (Т.к. eF1 - исходящее ребро F2, не возможно чтобы w (eF2) > w (eF1).)
Таким образом никакой тупиковый цикл не может возникнуть.
Каждое ребро отклоняется не более одного раза, и это требует двух сообщений, который ограничивает число сообщений reject и сообщений test как следствий отклонений к 2½E½. На любом уровне, узел получает не более одного сообщения initiate и accept , и посылает не более одного сообщения report, и одно changeroot или connect сообщение, и одно test сообщение, не ведущее к отклонению. На нулевом уровнени одно сообщение accept не получается и не одно сообщение report или test не посылается. На высшем уровне каждый узел только посылает сообщение report и получает одно сообщение initiate. Общее количество сообщений поэтому ограничено 2½E½ + 5N log N. o
7.3.5 Обсуждения и Варианты GHS Алгоритма
Gallager-Humblet-Spira алгоритм - один из наиболее сложных волновых алгоритмов, требует только локальное знание и имеет оптимальную сложность по сообщениям. Алгоритм может легко быть расширен так, чтобы он выбрал лидера, используя только на два больше сообщений. Алгоритм заканчивает в двух узлах, а именно основных узлах последнего фрагмента (охватывающего полную сеть). Вместо выполнения остановки, основные узлы обменивают их идентификаторами, и меньший из них становится лидером.
Было опубликовано множество разновидностей и родственных алгоритмов. GHS алгоритм может требовать время Ω(N2), если некоторые узлы начинают алгоритм очень поздно. Если используется дополнительная процедура пробуждения (требующая не более ½E½ сообщений) сложность алгоритма по времени 5N log N; см. Упражнение 7.11. Awerbuch [Awe87] показал, что сложность алгоритма по времени может быть улучшена од 0 (N), при сохранение оптимального порядка сложности по сообщениям ,то есть 0 (½E½ + N log N).
Afek и другие [ALSY90] приспособили алгоритм, для вычисления леса охвата с благоприятными свойствами, а именно, что диаметр каждого дерева и количество деревьев - 0 (N1/2). Их алгоритм распределенно вычисляет кластеризацию сети как показано в Lemma 4.47 и дерево охвата и центр каждого кластера.
Читатель может спрасить, могут ли произвольные деревя охватов быть построены более эффективно чем минимальные деревя охватов, но Теорема 7.15 также дает низкую границу Ω(NlogN +½E½) на построение произвольных деревьев охватов. Johansen и другие [JJN ^ 87] дают алгоритм для вычисления произвольного дерева охватов, который использует3N log N + 2½E½ +0(N) сообщений, таким образом улучшая GHS алгоритме на постоянный множитель, если сеть редка. Barllan и Zernik [BIZ89] представили алгоритм, который вычисляет случайные деревья охватов, где каждое возможное дерево охватов выбрано с равной вероятностью. Алгоритм - рандомизирован и использует ожидаемое число сообщений, которое находится в границах между 0 (NlogN +½E½)) и 0 (N3), в зависимости от топологии сети.
В то время как строительство произвольных и минимальных деревьев охватов имеет равную сложность в произвольных сетях, это не так в кликах. Korach, Moran и Zaks [KMZ85] показали, что строительство минимального дерева охватов в взвешенной клике требует обмена Ω(N2) сообщениями. Этот результат указывает, что знание топологии не помогает уменьшать сложность обнаружения MST ниже границы из Теоремы 7.15. Произвольное дерево охватов клики может быть построено в 0 (N log N) сообщения, как мы покажем в следующем разделе; см. также [KMZ84].
7.4 Алгоритм Korach-Kutten-Moran
Много результатов были получены для проблемы выбора, не только для случая кольцевых сетей и произвольных сетей, но также и для случая другой специализированной топологии, типа сетей клик, и т.д. В нескольких случаях лучшие известные алгоритмы имеют сложность по сообщениям 0(N log N) и в некоторых случаях этот результат достигает Ω(NlogN). Korach, Kutten, и Moran [KKM90] показали, что имеется тесная связь между сетеми выбора и обхода. Их главный результат - общее строительство эффективного алгоритма выбора для класса сетей, учитывая алгоритм обхода для этого класса. Они показывают, что когда строительство снабжено лучшим алгоритмом обхода, известным для класса сетей, результирующий алгоритм благоприятно сравним с лучшим алгоритмом выбора, известным для того класса в большинстве случаев. Дело обстоит не так для сложности по времени; Сложность времени алгоритма равняется сложности по сообщениям, и в некоторых случаях известны другие алгоритмы с той же самой сложностью по сообщениям и более низкой сложностью времени.
7.4.1 Модульное Строительство
Korach-Kutten-Moran алгоритм использует идеи преобразования вырождения (Подраздел 7.3.1) и идеи Peterson/Dolev-Klawe-Rodeh алгоритма (Подраздел 7.2.2). Подобно преобразованию вырождения инициаторы выбора начинают обход сети с маркера, помеченного их идентификатором. Если обход заканчивается (разрешается), инициатор обхода становится избранным; алгоритм подразумевает, что это случается для точно одного обхода. В этом подразделе алгоритм описан для случая, где каналы удовлетворяют fifo предположение, но, поддерживая немного больше информации в каждом маркере и в каждом процессе алгоритм, может быть приспособлен к не - fifo случай; см. [KKM90].
Чтобы иметь дело с ситуацией больше чем одного инициатора, алгоритм работает на уровнях, которые могут быть сравнены с раундами Peterson/Dolev-Klawe-Rodeh алгоритма. Если по крайней мере два обхода начаты, маркеры достигнут процесса, который уже был посещен другим маркером. Если эта ситуация возникает, обход прибывшего маркера будет прерван. Цель алгоритма теперь становится, чтобы свести вместе два маркера в одном процессе, где они будут убиты и новый обход будет начат. Сравните это с Peterson/Dolev и другими алгоритмами, где по крайней мере один из каждых двух идентификаторов проходит круг и продолжает проходить следующий. Понятие раундов заменено в Korach-Kutten-Moran алгоритме понятием уровней; два маркера вызовут новый обход только если они имеют один и тот же уровень, и вновь произведенный маркер имеет уровень на единицу больше. Если маркер встречается с маркером более высокого уровня, или достигает узла, уже посещенного маркером более высокого уровня, прибывающий маркер просто убит без того, чтобы влиять на маркер на более высоком уровне.
Алгоритм дается как Алгоритм 7.13. Чтобы свести вместе маркеры одного и того же уровня в одном процессе, каждый маркер может быть в одном из трех режимов: annexing, chasing, или waiting. Маркер представляется (q, l), где q - инициатор маркера и l - уровень. Переменная levp дает уровень процесса p, и переменная catp дает инициатора последнего маркера annexing , отправленного p (в настоящее время активный обход p). Переменная waitp - udef, если никакой маркер не ожидает в p, и его значение q, если маркер (q, levp) ожидает в p. Переменная lastp используется для маркеров в режиме chasing: она дает соседа, которому p отправил маркер annexing уровня levp, если маркер chasing не был послан сразу после этого; в этом случае lastp = udef. Алгоритм взаимодействует с алгоритмом обхода запросом к функции trav: эта функция возвращает соседа, которому маркер должен быть отправлен или decide, если обход заканчивается.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90
