За ограниченное количество шагов алгоритм достигает заключительной конфигурации. В этой конфигурации p0 уже переслал маркер, т.е. выполнил оператор send в своей программе. Кроме того, ни одно сообщение <tok> не передается ни по одному каналу, иначе оно может быть получено и конфигурация не будет заключительной. Также, ни один процесс, кроме p0, не «задерживает» маркер (т.е. получил, но не передал дальше <tok>), иначе процесс может послать <tok> и конфигурация не будет конечной. Следовательно, (1) p0 отправил маркер, (2) для любого p, пославшего маркер, Nextp получил маркер, и (3) каждый p ¹ p0, получивший маркер, отправил маркер. Из этого и свойства Next следует, что каждый процесс отправил и получил маркер. Т.к. p0 получил маркер и конфигурация конечна, p0 выполнил оператор decide.
Получение и отправка <tok> каждым процессом p ¹ p0 предшествует получению маркера процессом p0, следовательно, условие зависимости выполнено.
6.2.2 Древовидный алгоритм
В этом разделе представлен алгоритм для древовидной сети. Этот же алгоритм может быть использован для сетей произвольной топологии, если доступно остовное дерево сети. Предполагается, что алгоритм инициируют все листья дерева. Каждый процесс в алгоритме посылает ровно одно сообщение. Если процесс получил сообщение по всем инцидентным каналам, кроме одного (это условие изначально выполняется для листьев), процесс отправляет сообщение по оставшемуся каналу. Если процесс получил сообщения через все инцидентные каналы, он принимает решение; см. Алгоритм 6.3.
var recp[q] for each q Î Neighp : boolean init false ;
(* recp[q] = true, если p получил сообщение от q *)
begin while # {q : recp[q] is false} > 1 do
begin receive <tok> from q ; recp[q] := true end ;
(* Теперь остался один q0, для которого recp[q0] = false *)
send <tok> to q0 with recp[q0] is false ;
x : receive <tok> from q0 ; recp[q0] := true ;
decide
(* Сообщить другим процессам о решении:
forall q Î Neighp, q ¹ q0 do send <tok> to q *)
end
Алгоритм 6.3 Древовидный алгоритм.
Чтобы показать, что этот алгоритм является волновым, введем некоторые обозначения. Пусть fpq - событие, где p посылает сообщение q, а gpq - событие, где q получает сообщение от p. Через Tpq обозначим подмножество процессов, которые достижимы из p без прохождения по дуге pq (процессы на стороне p дуги pq); см. Рис.6.4.
Из связности сети следует, что (см. Рис.6.4)
Tpq = и P =
Рис. 6.4 Поддеревья Tpq.
Оператор forall в комментариях в Алгоритме 6.3 будет обсуждаться в конце этого подраздела; в следующей теореме речь идет об алгоритме без этого оператора.
Теорема 6.16 Древовидный алгоритм (Алгоритм 6.3) является волновым алгоритмом.
Доказательство. Т.к. каждый процесс посылает не более одного сообщения, в целом алгоритм использует не более N сообщений. Отсюда следует, что алгоритм достигает заключительной конфигурации ¡ за конечное число шагов; мы покажем, что в ¡ хотя бы один процесс выполняет событие decide.
Пусть F - количество битов rec со значением false в ¡, а K - количество процессов, которые уже послали сообщения в ¡. Т.к. в ¡ не передается ни одно сообщение (иначе ¡ не была бы заключительной), F = (2N-2) - K; общее число битов rec равно 2N-2, а K из них равны true.
Предположим, что ни один процесс в ¡ не принял решения. N-K процессов, которые еще не послали сообщение в ¡, содержат хотя бы по два бита rec, равных false; иначе они бы могли послать сообщение, что противоречит тому, что ¡ - заключительная конфигурация. K процессов, которые послали сообщение в ¡, содержат хотя бы один бит rec, равный false; иначе они могли бы принять решение, что противоречит тому, что ¡ - заключительная конфигурация. Итак, F ³ 2(N-K) + K, а из (2N-2) - K ³ 2(N-K) + K следует, что -2 ³ 0; мы пришли к противоречию, следовательно, хотя бы один процесс в ¡ принимает решение. См. Упражнение 6.5.
Наконец, нужно показать, что решению предшествует событие в каждом процессе. Пусть fpq - событие, где p посылает сообщение q, а gpq - событие, где q получает сообщение от p. Применяя индукцию по событиям получения сообщений, можно доказать, что " s Î Tpq $ e Î Cs: e p gpq.
Предположим, что это выполняется для всех событий получения сообщений, предшествующих gpq. Из того, что событию gpq предшествует fpq (в процессе p), и из алгоритма p следует, что для всех r Î Neighp при r ¹ q, grp предшествует fpq. Из гипотезы индукции следует, что для всех таких r и для всех s Î Trp существует событие e Î Cs, где e p grp, следовательно, e p gpq.
Решению dp в p предшествуют grp для всех r Î Neighp, откуда следует, что " s Î P $ e Î Cs : e p dp.
Читатель может смоделировать вычисление алгоритма на небольшом дереве (например, см. дерево на Рис.6.4) и самостоятельно убедиться в справедливости следующих замечаний. В Алгоритме 6.3 существует два процесса, которые получают сообщения через все свои каналы и принимают решение; все остальные тем временем ожидают сообщения с счетчиком команд, установленным на x, в заключительной конфигурации. Если к программе добавить оператор forall (в скобках комментария в Алгоритме 6.3), то все процессы принимают решение и в конечной конфигурации каждый процесс находится в конечном состоянии. Модифицированная программа использует 2N-2 сообщений.
6.2.3 Эхо-алгоритм
Эхо-алгоритм - это централизованный волновой алгоритм для сетей произвольной топологии. Впервые он был представлен Чангом [Chang; Cha82] и поэтому иногда называется эхо-алгоритмом Чанга. Более эффективная версия, которая и представлена здесь, была предложена Сегаллом [Segall; Seg83].
Алгоритм распространяет сообщения <tok> по всем процессам, таким образом определяя остовное дерево, как определено в Лемме 6.3. Маркеры «отражаются» обратно через ребра этого дерева аналогично потоку сообщений в древовидном алгоритме. Алгоритм обозначен как Алгоритм 6.5.
Инициатор посылает сообщения всем своим соседям. После получения первого сообщения не-инициатор пересылает сообщения всем своим соседям, кроме того, от которого было получено сообщение. Когда не-инициатор получает сообщения от всех своих соседей, эхо пересылается родителю (father). Когда инициатор получает сообщения от всех своих соседей, он принимает решение.
var recp : integer init 0 ; (* Счетчик полученных сообщений *)
fatherp : P init udef ;
Для инициатора:
begin forall q Î Neighp do send <tok> to q ;
while recp < # Neighp do
begin receive <tok> ; recp := recp + 1 end ;
end ;
Для не-инициатора:
begin receive <tok> from neighbor q ; fatherp := q ; recp := recp + 1 ;
forall q Î Neighp, q ¹ fatherp do send <tok> to q ;
send <tok> to fatherp
Алгоритм 6.5 Эхо-алгоритм.
Теорема 6.17 Эхо-алгоритм (Алгоритм 6.5) является волновым алгоритмом.
Доказательство. Т.к. каждый процесс посылает не более одного сообщения по каждому инцидентному каналу, количество сообщений, пересылаемых за каждое вычисление, конечно. Пусть ¡ - конечная конфигурация, достигаемая в вычислении C с инициатором p0.
Для этой конфигурации определим (подобно определению в лемме 6.3) граф T = (P,ET), где pq Î ET Û fatherp = q. Чтобы показать, что этот граф является деревом, нужно показать, что количество ребер на единицу меньше, чем количество вершин (Лемма 6.3 утверждает, что T - дерево, но предполагается, что алгоритм является волновым, что нам еще нужно доказать). Отметим, что каждый процесс, участвующий в C, посылает сообщения всем своим соседям, кроме соседа, от которого он получил первое сообщение (если процесс - не-инициатор). Отсюда следует, что все его соседи получают хотя бы одно сообщение в C и также участвуют в C. Из этого следует, что fatherp ¹ udef для всех p ¹ p0. Что T не содержит циклов, можно показать, как в доказательстве Леммы 6.3.
В корне дерева находится p0; обозначим через Tp множество вершин в поддереве p. Ребра сети, не принадлежащие T, называются листовыми ребрами (frond edges). В ¡ каждый процесс p, по крайней мере, послал сообщения всем своим соседям, кроме родителя fatherp, следовательно, каждое листовое ребро передавало в C сообщения в обоих направлениях. Пусть fp - событие, в котором p посылает сообщение своему родителю (если в C это происходит), а gp - событие, в котором родитель p получает сообщение от p (если это происходит). С помощью индукции по вершинам дерева можно показать, что
(1) C содержит событие fp для любого p ¹ p0;
(2) для всех s Î Tp существует событие e Î Cs такое, что e p gp.
Мы рассмотрим следующие два случая.
p - лист. p получил в C сообщение от своего родителя и от всех других соседей (т.к. все остальные каналы - листовые). Таким образом, посылка <tok> родителю p была возможна, и, т.к. ¡ - конечная конфигурация, это произошло. Tp содержит только p, и, очевидно, fp p gp.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90
