sum(1:16)/4
что, конечно, дает ans = 34.
Единичная матрица, нулевая матрицы и матрица из единиц.
Двумерные массивы случайных чисел
Единичная матрица, то есть матрица имеющая единицы на главной диагонали и нулевые ос-тальные элементы, в MATLAB-е обозначается eye, причем eye(n) есть единичная квадратная матрица размера nxn, eye(m,n) - прямоугольная единичная матрица размера mxn, а eye(size(A)) есть единичная матрица, имеющая размерность матрицы A. Например,
I = eye(3)
I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I = eye (3,5)
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
I = eye (4,2)
1 0
0 1
0 0
Нулевая матрица, то есть матрица состоящая из нулей (массив нулей), в MATLAB-е обоз-начается zeros, причем zeros (n) есть нулевая квадратная матрица размера nxn, zeros (m,n) - прямоугольная нулевая матрица размера mxn, а zeros (size(A)) есть нулевая матрица имею-щая размерность матрицы A.
Z = zeros(2,4)
Z =
0 0 0 0
Наконец, матрица состоящая из единиц (массив единиц), в MATLAB-е обозначается ones, причем ones (n) есть квадратный массив единиц размера nxn, ones (m,n) – прямоугольный массив единиц размера mxn, а ones (size(A)) есть массив единиц, имеющий размерность матрицы A.
S = 5*ones(3, 3)
S =
5 5 5
Аналогично, функция rand дает возможность сформировать соответствующие массивы слу-чайных чисел в диапазоне от 0 до 1, распределенных по равномерному закону, а функция randn – по нормальному закону.
N = fix(10*rand(1,10))
4 9 4 4 8 5 2 6 8 0
R = randn(4,4)
R =
1.0668 0.2944 -0.6918 -1.4410
0.0593 -1.3362 0.8580 0.5711
-0.0956 0.7143 1.2540 -0.3999
-0.8323 1.6236 -1.5937 0.6900
Одной из важнейших задач в технических приложениях и расчетах является задача решения систем линейных уравнений. В матричных обозначениях, данная задача может быть сформу-лирована следующим образом. При заданных двух матрицах A and B, существует ли такая единственная матрица X, что AX = B или XA = B?
Для наглядности рассмотрим одномерный пример. Имеет ли уравнение
7x = 21
единственное решение? Ответ, разумеется, да. Это уравнение имеет единственное решение x = 3. Решение может быть легко получено обычным делением.
x = 21/7 = 3
Решение при этом обычно не состоит в определении обратной величины от числа 7 (т.е. ве-личины 7-1 = 0.142857…), и последующим умножением числа 7-1 на число 21. Это было бы более трудоемко и, если число 7-1 представлено конечным числом цифр (разрядов), менее точно. Аналогичные рассуждения применимы и к системам линейных алгебраических уравнений с более чем одной неизвестной; MATLAB решает такие уравнения без вычисле-ния обратной матрицы. Хотя это и не является стандартным математическим обозначением, система MATLAB использует терминологию, связанную с обычным делением в одномерном случае, для описания общего случая решения совместной системы нескольких линейных уравнений. Два символа деления / (косая черта (по английски - slash)) и \ (обратная косая че-рта (backslash)) используются в двух случаях, когда неизвестная матрица появляется слева или справа от матрицы коэффициентов:
X = A\B обозначает решение матричного уравнения AX = B
X = B/A обозначает решение матричного уравнения XA = B.
Вы можете представлять себе это как процесс «деления» обеих частей уравнения AX = B или XA = B на A. Матрица коэффициентов A всегда находится в «знаменателе».Условие сов-местимости размерностей для X = A\B требует чтобы две матрицы A и B имели одинаковое число строк. Решение X тогда имеет такое же число столбцов как и B, а число ее строк будет равно числу столбцов A. Для X = B/A, строки и столбцы меняются ролями. На практике, ли-нейные уравнения в виде AX = B встречаются более часто, чем в виде XA = B. Следователь-но, обратная наклонная черта \ используется более часто, чем прямая / . Поэтому, в остав-шейся части данного раздела мы ограничимся рассмотрением оператора \ ; соответствующие свойства оператора / можно вывести из тождества
(B/A)' = (A'\B')
В общем случае не требуется, чтобы матрица коэффициентов A была бы квадратной. Если A имеет размер mхn, то возможны три случая:
числом m ненулевых компонент.
Оператор \ использует различные алгоритмы для решения систем линейных уравнений с раз-ными типами матриц коэффициентов. Различные случаи, которые диагностируются автома-тически по типу матрицы коэффициентов, включают:
• Перестановки треугольных матриц
• Симметричные, положительно определенные матрицы
• Квадратные невырожденные матрицы
• Прямоугольные, переопределенные системы
• Прямоугольные, недоопределенные системы
Наиболее часто встречающейся ситуацией является квадратная матрица коэффициентов A и одномерный вектор-столбец b справа, т.е. Ax = b. Решение x = A\b имеет при этом тот же ра-змер, что и вектор b. Например,
x = A\u
x =
10
-12
5
где матрица А есть приведенная выше матрица Паскаля. Легко удостовериться, что A*x в точности равно вектору u (численные значения этого вектора даны выше).
Если A и B являются квадратными и имеют одинаковый размер, то X = A\B имеет тот же ра-змер, например
X =
19 -3 -1
-17 4 13
6 0 -6
Легко убедиться, что A*X в точности равно B.
Оба этих примера имеют точное решение в виде целых чисел. Это связано с тем, что в каче-стве матрицы коэффициентов была выбрана матрица Паскаля pascal(3), чей детерминант равен единице. Далее будут рассмотрены примеры влияния ошибок округления, возникаю-щих в более реальных системах.
Квадратная матрица A является сингулярной, если ее столбцы не являются линейно незави-симыми. Если A – сингулярна, то решение AX = B или не существует, или не является един-ственным. Оператор \ , A\B, выдает предупреждающее сообщение, если матрица A близка к сингулярной и сообщение об ошибке, если определено равенство нулю детерминанта матри-цы А.
Переопределенные системы совместных линейных уравнений часто встречаются в задачах аппроксимации экспериментальных данных при помощи различных эмпирических кривых. Рассмотрим следующий гипотетический пример. Величина y измеряется при различных зна-чениях времени t, что дает следующие результаты
t y
0.0 0.82
0.3 0.72
0.8 0.63
1.1 0.60
1.6 0.55
2.3 0.50
Эти данные могут быть введены в MATLAB при помощи выражений:
t = [0 .3 .8 1.1 1.6 2.3]';
y = [0.82 0.72 0.63 0.60 0.55 0.50]';
Данные могут быть аппроксимированы при помощи убывающей экспоненциальной функ-ции.
y(t) = c1 + c2 e-t
Это уравнение показывает, что вектор y может быть представлен в виде линейной комбина-ции двух векторов, один из которых является постоянным вектором, содержащим все едини-цы, а второй вектор имеет компоненты e-t. Неизвестные коэффициенты c1 и c2 могут быть найдены подгонкой кривых по методу наименьших квадратов, которая основана на миними-зации суммы квадратов отклонений экспериментальных данных от модели. Мы имеем шесть уравнений с двумя неизвестными, представленными 6х2 матрицей
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35
