-5 20 -10
и начальными условиями x(0)
x0 = [ 1 1 1]’.
Использование матричной экспоненты для вычисления решения дифференциального уравне-ния в 101 точке с шагом 0.01 на интервале 0 ≤ t ≤ 1 записывается в виде
X = [ ];
for t = 0 : 0.01 : 1
X = [X expm(t*A)*x0];
end
Трехмерный график решения в фазовом пространстве может быть получен при помощи спе-циальной функции
plot3(X(1,:), X(2,:), X(3,:), '-o')
Решение имеет вид спиральной функции сходящейся к началу координат (см. рис. ниже). Та-кое решение обусловлено комплексными собственными значениями матрицы коэффициен-тов А.
Собственным значением и собственным вектором квадратной матрицы А называются ска-ляр λ и вектор v, удовлетворяющие условию
Av = λv
Имея диагональную матрицу Λ, составленную из собственных значений λ матрицы А и мат-рицу V , составленную из соответствующих собственных векторов v, можно записать
Если матрица V несингулярная, на основании данного выражения получаем спектральное разложение матрицы А
А = VΛV-1
Неплохой пример использования спектрального разложения дает рассмотренная выше мат-рица коэффициентов линейного дифференциального уравнения. Ввод выражения
lambda = eig(A)
дает следующий вектор-столбец собственных значений (два из них являются комплексно-сопряженными)
lambda =
-3.0710
-2.4645 + 17.6008i
-2.4645 - 17.6008i
Действительные части всех собственных значения являются отрицательными, что обеспечи-вает устойчивость процессов в системе. Ненулевые мнимые части комплексно-сопряженных собственных значений обуславливают колебательный характер переходных процессов.
При двух выходных аргументах, функция eig вычисляет также собственные векторы и выда-ет собственные значения в виде диагональной матрицы
.
[V,D] = eig(A)
V =
-0.8326 0.2003 - 0.1394i 0.2003 + 0.1394i
-0.3553 -0.2110 - 0.6447i -0.2110 + 0.6447i
-0.4248 -0.6930 -0.6930
D =
-3.0710 0 0
0 -2.4645+17.6008i 0
0 0 -2.4645-17.6008i
Первый собственный вектор (первый столбец матрицы V) является действительным, а два других являются комплексно-сопряженными. Все три вектора являются нормализованными по длине, т.е. их Евклидова норма norm(v,2), равна единице.
Матрица V*D*inv(V), которая в более сжатой форме может быть записана как V*D/V, равна, в пределах погрешностей округления, матрице А. Аналогично, inv(V)*A*V, или V\A*V, рав-на, в пределах погрешностей округления, матрице D.
Некоторые матрицы не имеют спектрального разложения. Такие матрицы называются дефек-тными или не диагонализируемыми. Например, пусть матрица А имеет вид
A =
6 12 19
-9 -20 -33
4 9 15
Для этой матрицы ввод [V, D] = eig(A) дает
-0.4741 -0.4082 -0.4082
0.8127 0.8165 0.8165
-0.3386 -0.4082 -0.4082
-1.0000 0 0
0 1.0000 0
0 0 1.0000
Здесь имеются два положительных единичных кратных собственных значений. Второй и третий столбцы матрицы V являются одинаковыми и поэтому полного набора линейно-неза-висимых собственных векторов не существует (и поэтому не существует обратная матрица V-1).
Сингулярным значением и соответствующими сингулярными векторами прямоугольной ма-трицы A называются скаляр σ и пара векторов u и v такие, что удовлетворяются соотноше-ния
Av = σu
ATu = σv
Имея диагональную матрицу сингулярных чисел Σ и две ортогональные матрицы U и V, сформированные из соответствующих собственных векторов, можно записать
AV = U Σ
ATU = V Σ
Поскольку U и V являются ортогональными матрицами, это можно записать в виде сингуляр-ного разложения
A = U ΣVT
Полное сингулярное разложение матрицы А размера mхn включает mхm матрицу U, mхn матрицу Σ, и nхn матрицу V. Другими словами, обе матрицы U и V являются квадратными , а матрица Σ имеет тот же размер, что и A. Если A имеет намного больше строк чем столб-цов, результирующая матрица U может быть достаточно большой, но большинство ее столб-цов умножаются на нули в Σ . В таких ситуациях может быть использована так называемая экономичная декомпозиция, которая сберегает как время так и память, за счет вывода матри-цы U размера mхn, матрицы Σ размера nхn и той же матрицы V.
Спектральное разложение является подходящим инструментом анализа матрицы, когда пос-ледняя осуществляет преобразование векторного пространства в себя, как это было в рас-смотренном выше примере дифференциальных уравнений. С другой стороны, сингулярное разложение матриц удобно при отображении одного векторного пространства в другое, возможно с иной размерностью. Большинство систем совместных линейных уравнений отно-сятся ко второй категории. Если матрица А является квадратной, симметричной и поло-жительно-определенной, то ее спектральное и сингулярное разложения совпадают. Но при отклонении A от симметричной и положительно-определенной матрицы, разница между двумя разложениями возрастает. В частности, сингулярное разложение действительной мат-рицы всегда действительно, но спектральное разложение действительной несимметричной матрицы может быть и комплексным.
9 4
6 8
2 7
полное сингулярное разложение задается в форме
[U,S,V] = svd(A)
и приводит к следующим результатам
U =
-0.6105 0.7174 0.3355
-0.6646 -0.2336 -0.7098
-0.4308 -0.6563 0.6194
S =
14.9359 0
0 5.1883
0 0
-0.6925 0.7214
-0.7214 -0.6925
Вы можете убедиться, что матрица U*S*V' равна А с точностью до ошибок округления. Для этого примера экономичная декомпозиция дает незначительный эффект.
[U,S,V] = svd(A,0)
-0.6105 0.7174
-0.6646 -0.2336
-0.4308 -0.6563
Как и в первом случае, матрица U*S*V' равна A с точностью до ошибок округления.
В этом разделе мы ознакомимся с основными функциями MATLAB-а, которые дают возмож-ность осуществлять математические действия с полиномами и производить интерполяцию одно-, двух-, и многомерных данных.
conv
Умножение полиномов.
deconv
Деление полиномов.
poly
Вычисление характеристического полинома матрицы или определение полинома с заданными корнями.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35
