В ячейках В20:В29 вычислим плотности относительных частот как частное от деления относительных частот (ячейки F25:F34) на шаг (ячейка $F$22) из таблицы 10.
Плотности равномерного, нормального, экспоненциального и гамма-распределений рассчитываются в соответствии с формулами:
С20 = ЭКСПРАСП (А20;$B$5;ЛОЖЬ);
D20 = НОРМРАСП (А20; $B$12; $B$13; ЛОЖЬ);
E20 = ГАММАРАСП (А20; $B$16; $B$17; ЛОЖЬ).
F20 = ЕСЛИ(А20<$B$8; 0; ЕСЛИ(A20>=$B$9; 1/($B$9-$B$8); 0));
Затем копируем их в блок ячеек С21:F21.
После чего строим гистограмму частот, совмещенную с плотностью каждого из указанных ранее распределений. Графическое изображение гистограммы кривых различных распределений приведены на рисунках 11- 13.
Рисунок 11 – Сглаживание гистограммы плотностью равномерного распределения
Рисунок 12 – Сглаживание гистограммы плотностью нормального распределения
Рисунок 13 – Сглаживание гистограммы плотностью гамма-распределения
Рисунок 14 – Сглаживание гистограммы плотностью экспоненциального распределения
Используя критерий χ2, установим, верна ли принятая гипотеза о том, что статистические данные подчиняются равномерному распределению, так, чтобы ошибка не превышала заданного уровня значимости α (вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза).
Для применения критерия χ2 необходимо, чтобы частоты ni, соответствующие каждому интервалу, были не меньше 5. Для этого при необходимости объединим рядом стоящие интервалы, а их частоты суммируем. Далее вычислим следующую сумму:
,
где pi – теоретическая вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала [ai-1,ai].
Предположим, что случайная величина t имеет функцию распределения F(t), поэтому pi = F(ai) – F(ai-1).
Образец расчетов по предыдущей формуле для трех распределений представлен в таблице 6.
В колонке А содержатся левые, а в колонке В – праве границы интервалов. В колонке С находятся соответствующие частоты. В колонке D рассчитываются теоретические вероятности в зависимости от вида распределения.
Для экспоненциального распределения:
D35 = ЭКСПРАСП (B35; $B$5; ИСТИНА) – ЭКСПРАСП (А35; $B$5; ИСТИНА);
Для равномерного распределения:
D65 = ЕСЛИ (B65<$B$8; 0; ЕСЛИ (B65<=$B$9; (B24-$B$8) / ($B$6-$B$9); 1)) – ЕСЛИ (A24<$B$8; 0; ЕСЛИ (A24<=$B$9; (A24-$B$8) / ($B$6-$B$9); 1));
Для нормального распределения:
D45 = НОРМРАСП (В45; $B$12; $B$13; ИСТИНА) – НОРМРАСП (А45; $B$12; $B$13; ИСТИНА);
Для гамма-распределения:
D55 = ГАММАРАСП (В55; $B$16; $B$17; ИСТИНА) – ГАММАРАСП (А55; $B$16; $B$17; ИСТИНА).
В колонке Е рассчитываются слагаемые соотношения по формуле:
Е35 = (С35-56*D35)^2/(56*D35), которая копируется в другие ячейки колонки Е.
После чего для каждого рассмотренного распределения определим итоговые суммы:
Е43 = СУММ(E35:E42);
Е53 = СУММ(E45:E52);
Е63 = СУММ(Е55:Е62);
Е73 = СУММ(Е65:Е72).
Которые равны соответственно 349,8344; 14,8995; 15,1459; 16,7324.
Гипотеза о виде закона распределения должна быть принята, если вычисленное значение χ2выч достаточно мало, а именно не превосходит критического значения χ2кр, которое определяется по распределению χ2 в зависимости от заданного уровня значимости α и числа степеней свободы r=k’ – s – 1.
где k’ – количество интервалов после объединения;
s – число неизвестных параметров распределения, которые были определены по выборке.
В данном примере r = 7 – 2 – 1 = 5
Критическое значение рассчитывается по формуле:
Е74 = ХИ2ОБР(0,05;5), из таблицы 12 видно, оно равно 16,7496.
Поскольку 16,7324<16,7496, то принимается гипотеза о том, что статистические данные имеют равномерное распределение с параметрами a = 82,7050 и b = 117,4735 соответственно.
Таблица 12 – Подбор распределения на основе критерия χ2
А
B
С
D
E
33
Левая граница
Правая граница
Частота
Вероятности
χ²
34
Экспоненциальное распределение
35
80
84
5
0,0176
16,3293
36
92
8
0,0331
20,2945
37
96
9
0,01562
75,4446
38
100
7
0,01501
45,1229
39
104
0,01442
47,4663
40
108
10
0,01385
109,6166
41
116
0,02611
8,5589
42
120
0,01229
27,0014
43
Сумма
349,8344
45
Нормальное распределение
46
0,0317
5,8201
47
0,1556
0,0590
48
0,1317
0,3576
49
0,1546
0,3175
50
0,1551
0,3280
51
0,1331
0,8698
52
0,1588
1,7057
53
0,03281
5,4419
54
14,8995
55
Гамма-распределение
56
0,0310
6,1243
57
0,1652
0,1697
58
0,1388
0,1927
59
0,1576
0,3788
60
0,1522
0,2729
61
0,1265
1,1969
62
0,1497
1,3685
63
5,4421
64
15,1459
65
Равномерное распределение
66
0,03727
4,0719
67
0,2300
1,8522
68
0,1150
1,0151
69
0,0482
70
71
1,9643
72
4,8254
73
0,0423
2,9070
74
16,7324
75
Критическое значение критерия
16,74960237
2.5 Определение показателей надежности объекта испытаний
После подтверждения гипотезы о виде закона распределения, определим показатели надежности объекта.
Таким образом, было установлено, что случайная величина принадлежит множеству с плотностью распределения вероятностей:
Найдем основными показатели надежности. Они вычисляются по формулам:
В78 = ($B$6-А50)/($B$6-$B$5);
С78 = 1 – В78;
Плотность распределения и интенсивность отказа рассчитаем по следующим формулам:
D78 = 1/($B$9-$B$8);
E78 = D78/B78.
Далее скопируем формулы в ячейки В79:В84, С79:С84, D79:D84, E79:E84 соответственно.
В результате будет получена таблица вычисленных ранее значений (таблица 13) и построены их графики (рисунки 14,15,16).
Таблица 13 – Значения показателей надежности объекта испытаний
C
78
82,7050
1
0
0,028761673
79
88
0,847708081
0,152291919
0,033928747
93
0,703899717
0,296100283
0,040860469
81
98
0,560091352
0,439908648
0,051351753
82
103
0,416282988
0,583717012
0,069091636
83
0,272474623
0,727525377
0,105557253
113
0,128666259
0,871333741
0,223537026
85
Рисунок 14 – График вероятности безотказной работы и вероятности отказа
Рисунок 15 – График плотности распределения вероятности
Рисунок 16 – График интенсивности отказа
Заключение
Поставленные перед нами цели курсовой работы по определению фактических показателей надежности невосстанавливаемого объекта испытания – электродвигателя однофазного коллекторного переменного тока типа ДК 60 – 40 – выполнены.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
