В ячейках В16:В25 вычислим плотности относительных частот как частное от деления относительных частот (ячейки F25:F34) на шаг (ячейка $F$22) из таблицы 4.
Плотности экспоненциального, нормального и гамма-распределений рассчитываются в соответствии с формулами:
С16 = ЭКСПРАСП (А16;$B$5;ЛОЖЬ);
D16 = НОРМРАСП (А16;$B$8;$B$9;ЛОЖЬ);
E16 = ГАММАРАСП (А16;$B$12;$B$13;ЛОЖЬ).
Затем копируем их в блок ячеек С17:Е25.
После чего строим гистограмму частот, совмещенную с плотностью каждого из указанных ранее распределений. Графическое изображение гистограммы кривых различных распределений приведены на рисунках 3- 5.
Рисунок 3 – Сглаживание гистограммы плотностью экспоненциального распределения
Рисунок 4 – Сглаживание гистограммы плотностью нормального распределения
Рисунок 5 – Сглаживание гистограммы плотностью гамма-распределения
Используя критерий χ2, установим, верна ли принятая гипотеза о том, что статистические данные подчиняются нормальному распределению.
Для применения критерия χ2 необходимо, чтобы частоты ni, соответствующие каждому интервалу, были не меньше 5. Для этого при необходимости объединим рядом стоящие интервалы, а их частоты суммируем. Далее вычислим следующую сумму:
,
где pi – теоретическая вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала [ai-1,ai].
Предположим, что случайная величина t имеет функцию распределения F(t), поэтому pi = F(ai) – F(ai-1).
Образец расчетов по предыдущей формуле для трех распределений представлен в таблице 6.
В колонке А содержатся левые, а в колонке В – праве границы интервалов. В колонке С находятся соответствующие частоты. В колонке D рассчитываются теоретические вероятности в зависимости от вида распределения.
Для экспоненциального распределения:
D31 = ЭКСПРАСП (B31; $B$5; ИСТИНА) – ЭКСПРАСП (А31; $B$5; ИСТИНА);
Для нормального распределения:
D40 = НОРМРАСП (В40; $B$8; $B$9; ИСТИНА) – НОРМРАСП (А40; $B$8; $B$9; ИСТИНА);
Для гамма-распределения:
D49 = ГАММАРАСП (В49; $B$12; $B$13; ИСТИНА) – ГАММАРАСП (А49; $B$12; $B$13$ ИСТИНА).
В колонке Е рассчитываются слагаемые соотношения по формуле:
Е31 = (С31-100*В31)^2/(100*D31), которая копируется в другие ячейки колонки Е.
После чего для каждого рассмотренного распределения определим итоговые суммы:
Е38 = СУММ(E34:E39);
Е47 = СУММ(E42:E47);
Е56 = СУММ(Е50:Е55).
Которые равны соответственно 659,6862; 5,2199 и 3,8740.
Гипотеза о виде закона распределения должна быть принята, если вычисленное значение χ2выч достаточно мало, а именно не превосходит критического значения χ2кр, которое определяется по распределению χ2 в зависимости от заданного уровня значимости α и числа степеней свободы r=k’ – s – 1. где k’ – количество интервалов после объединения; s – число неизвестных параметров распределения, которые были определены по выборке.
В данном примере r = 7 – 2 – 1 = 2
Критическое значение рассчитывается по формуле:
Е57 = ХИ2ОБР(0,05;4), из таблицы 6 видно, оно равно 9,4877.
Поскольку 5,2199<9,4877, то принимается гипотеза о том, что статистические данные имеют нормальное распределение с параметрами α = = 98,68 и σ = 8,7673 соответственно.
Таблица 6 – Подбор распределения на основе критерия χ2
А
B
С
D
E
29
Левая граница
Правая граница
Частота
Вероятности
χ²
30
Экспоненциальное распределение
31
70
85
5
0,069374468
0,5411
32
90
16
0,020878363
92,7028
33
95
18
0,019846835
129,2349
34
100
24
0,018866271
259,1934
35
105
0,017934153
112,5378
36
110
11
0,017048088
50,6805
37
120
10
0,031610928
14,7957
38
Сумма
659,6862
39
Нормальное распределение
40
0,058804812
0,1318
41
0,101737571
3,3365
42
0,176260064
0,0079
43
0,222500256
0,1376
44
0,204663183
0,9747
45
0,137173828
0,5383
46
0,090811892
0,0930
47
5,2199
48
Гамма-распределение
49
0,053672643
0,0251
50
0,107072418
2,6163
51
0,185399233
0,0157
52
0,224931406
0,1009
53
0,197757868
0,7209
54
0,129724735
0,2999
55
0,090713209
0,0951
56
3,8740
57
Критическое значение критерия
9,4877
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
