3.8 Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) записи булевых выражений

СДНФ является одной из аналитических форм представления переключательных функций. Булевы выражения простых логических функций можно записать по их словесному описанию. В общем случае для получения аналитической формы (булевого выражения) используют таблицы истинности.

Предположим, логическая функция трех переменных задана таблицей истинности (таблица 3.4).

Таблица 3.4

Эта функция имеет четыре конституенты единицы К1, К4, К5 и К6 (коституента единицы – это единичное значение ПФ на одном конкретном наборе. Всего для ПФ трех переменных может быть восемь конституент единицы, если функция принимает единичное значение на всех наборах). Конституента единицы записывается в виде конъюнкции. Для нашего примера  ;  .

Булево выражение ПФ в СДНФ представляет сумму конституент единицы:

.(3.2)

Поскольку конституенты единицы записываются в виде конъюнкций, то СДНФ представляет сумму конъюнкций, каждая из которых содержит все переменные в прямом или инверсном виде не более одного раза. Очевидно, что логическая функция имеет единственное булево выражение в СДНФ, что следует из методики его получения.

СДНФ называется дизъюнктивной (состоит из суммы конъюнкций), совершенной (все конъюнкции содержат по одному разу каждую переменную в прямом или инверсном виде) и нормальной (двухуровневой) – для ее реализации требуются логические элементы двух видов: конъюнкторы и дизъюнкторы, при этом предполагается, что исходные переменные поступают в прямом и инверсном виде.

3.9 Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)

Если в выражении (3.2) во всех или некоторых конъюнкциях отсутствуют отдельные переменные (в прямой или инверсной форме) или ряд конъюнкций, отображающих конституенты единицы, отсутствуют вообще, то такая форма представления булевого выражения называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).

Переключательная функция может описываться несколькими булевыми выражениями в ДНФ, одно из которых является минимальным (содержит минимум конъюнкций и минимум входящих в них переменных).

3.10 Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) записи булевых выражений

Описанная таблицей 3.4 переключательная функция помимо конституент единицы содержит конституенты нуля К0, К2, К3 и К7 (конституента нуля – это нулевое значение ПФ на одном конкретном наборе). Всего для ПФ 3-х переменных может быть восемь конституент нуля, если функция принимает нулевое значение на всех наборах. Конституента нуля записывается в виде дизъюнкции. Для нашего примера (таблица 3.4) это

Булево выражение в СКНФ представляет собой произведение конституент нуля:

.(3.3)

СКНФ называется конъюнктивной (состоит из произведения дизъюнкций), совершенной (все дизъюнкции включают по одному разу каждую переменную в прямом или инверсном виде) и нормальной (двухуровневой) – для ее реализации требуются логические элементы двух видов: конъюнкторы и дизъюнкторы, при этом предполагается, что исходные переменные поступают в прямом или инверсном виде.

Логическая функция имеет единственное булево выражение в СКНФ.

3.11 Конъюнктивная нормальная форма (КНФ)

Если в выражении (3.3) все дизъюнкции или отдельные из них не содержат всех переменных в прямом или инверсном виде, а также некоторые дизъюнкции вообще отсутствуют, то такая форма представления булевого выражения называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ).

Переключательная функция может описываться несколькими булевыми выражениями в КНФ, одно из которых является минимальным (содержит минимум дизъюнкций и минимум входящих в них переменных).

3.12 Минимизация логических функций

Минимизацией называют процедуру упрощения аналитического выражения, представляющего переключательную (логическую) функцию, направленную на то, чтобы булево выражение ПФ содержало минимальное количество членов с минимальным числом переменных.

Способы минимизации:

– алгебраический;

– с помощью диаграмм Вейча (карт Карно).

3.12.1 Алгебраический способ минимизации ПФ

В некоторых простых случаях можно осуществить минимизацию булевого выражения ПФ, используя тождества и теоремы булевой алгебры.

Пример 1. Исходное булево выражение:

.(3.4)

Применяя теорему склеивания, получим булево выражение

,(3.5)

которое равносильно (эквивалентно) исходному, но значительно проще его.

Пример 2. Исходное булево выражение:

.(3.6)

Используя тождество А=А+А и теорему склеивания получим более простое выражение

.(3.7)

Такие элементарные приемы минимизации удается использовать, если исходное булево выражение содержит малое количество членов с небольшим числом переменных.

Более наглядным и удобным является минимизация с применением диаграмм Вейча (карт Карно).

3.12.2 Минимизация ПФ с использованием диаграмм Вейча (карт Карно)

Диаграммы Вейча (карты Карно) [3, 11, 18] построены так, что их соседние клетки содержат члены исходной ПФ, отличающиеся значением одной переменной: один член содержит эту переменную в прямой форме, а другой – в инверсной. Благодаря этому возникает наглядное представление о различных вариантах склеивания смежных членов.

3.12.2.1 Минимизация ПФ с помощью диаграмм Вейча

Исходным продуктом для применения диаграмм Вейча является представление ПФ таблицей истинности, в которой возможные наборы переменных упорядочены по возрастанию или по убыванию их десятичных эквивалентов (таблица 3.1). Вид диаграмм Вейча зависит от числа переменных минимизируемой ПФ - n и от того, как упорядочены наборы переменных в таблице. Если наборы упорядочены по возрастанию их десятичных эквивалентов, то диаграммы Вейча для n=2,3,4 имеют вид, приведенный на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1

Число клеток диаграммы равно количеству наборов переменных

Nкл=Nнаб=2n.(3.8)

Если n=2, то Nкл=22=4; n=3 – Nкл=8, n=4 – Nкл=16.

Каждая клетка соответствует определенному набору переменных и имеет номер, одинаковый с номером набора.

Строки и столбцы диаграммы, помеченные чертой, определяют наборы, в которых переменные принимают единичные значения (входят в прямой форме). Строки и столбцы, не помеченные чертой, соответствуют наборам, в которых те же переменные принимают нулевые значения (входят в инверсной форме). Например, для n=3 (рисунок 3.1) двум левым столбцам соответствует единичное значение переменной В (в входит в прямой форме), а двум правым – нулевое значение (в входит в инверсной форме).

В клетки записываются значения ПФ на соответствующем наборе (нулевое или единичное). Если на каком-то наборе функция не определена, то в клетке диаграммы ставится прочерк.

ПФ считается неопределенной, если:

1) данный набор переменных в реальном логическом устройстве невозможен;

2) значение функции на данном наборе безразлично.

После заполнения диаграммы можно приступить непосредственно к минимизации, которую производят по единицам или нулям.

В первом случае результатом минимизации будет булево выражение в ДНФ, а во втором – в КНФ.

3.12.2.1.1 Общие правила минимизации

Минимизацию можно проводить по единицам (нулям). При этом:

1) Смежные единицы (нули) диаграммы условно охватывают (накрывают) прямоугольными контурами. Каждый контур может содержать 2,4,8,16, ... единиц (нулей).

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33