МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы

Экспериментальная проверка теоремы Гюйгенса - Штейнера и определение моментов инерции тел простой формы.

Идея эксперимента

В эксперименте используется связь между периодом колебаний крутильного маятника и его моментом инерции. В качестве маятника выбрана круглая платформа, подвешенная в поле тяжести на трех длинных нитях (трифилярный подвес). Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси. На платформу помещаются тела различной формы, измеряются периоды колебаний маятника и определяются значения моментов инерции этих тел. Теорема Гюйгенса - Штейнера проверяется по соответствию между экспериментальной и теоретической зависимостями моментов инерции грузов от их расстояния до центра платформы.

Теория

Основное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси имеет вид

, (3.1)

где - угловая скорость вращения, J - момент инерции тела относительно оси вращения, М - момент внешних сил относительно этой оси.

Теорема Гюйгенса - Штейнера. Если момент инерции тела относительно некоторой оси вращения, проходящей через центр масс, имеет значение J0 , то относительно любой другой оси, находящейся на расстоянии а от первой и параллельной ей, он будет равен

, (3.2)

где m - масса тела.

Для проверки теоремы Гюйгенса - Штейнера в данной работе исследуются крутильные колебания твердого тела на трифилярном подвесе. Трифилярный подвес представляет собой круглую платформу радиуса R, подвешенную на трех симметрично расположенных нитях одинаковой длины, укрепленных у ее краев (рис. 8). Наверху эти нити также симметрично прикреплены к диску несколько меньшего размера (радиуса r). Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси ОО, перпендикулярной к ее плоскости и проходящей через ее центр. Такое движение платформы приводит к изменению положения ее центра тяжести по высоте.

Если платформа массы m, вращаясь в одном направлении, поднялась на высоту h, то

приращение ее потенциальной энергии будет равно

, (3.3)

где g - ускорение силы тяжести. Вращаясь в другом направлении, платформа придет в положение равновесия (h = 0) с кинетической энергией, равной

, (3.4)

где J - момент инерции платформы, 0 - угловая скорость вращения платформы в момент прохождения ею положения равновесия.

Пренебрегая работой сил трения, на основании закона сохранения механической энергии имеем:

. (3.5)

Считая, что платформа совершает гармонические крутильные колебания, можно записать зависимость углового смещения платформы от времени t в виде

, (3.6)

где - угловое смещение платформы, 0 - угол максимального поворота платформы, т.е. амплитуда углового смещения, Т - период колебания. Для угловой скорости , являющейся первой производной по времени от величины смещения, можно записать

. (3.7)

В моменты прохождения платформы через положение равновесия (t = 0, 0,5Т, …) величина (t) будет максимальна и равна

. (3.8)

Из выражений (3.5) и (3.8) следует, что

. (3.9)

Если l длина нитей подвеса, R - расстояние от центра платформы до точек крепления нитей на ней, r - радиус верхнего диска (рис. 8), то легко видеть, что

(3.10)

Так как

, (3.11)

а при максимальном отклонении платформы от положения равновесия

, (3.12)

то

. (3.13)

При малых углах отклонения 0 значение синуса этого угла можно заменить просто значением 0. Учитывая также, что при R l величину знаменателя можно положить равной 2l, получаем

(3.14)

При этом закон сохранения энергии (2.9) примет вид:

, (3.15)

откуда следует, что

(3.16)

По формуле (3.16) можно экспериментально определить момент инерции пустой платформы или платформы с телом, положенным на нее, так как все величины в правой части формулы непосредственно измеряются. Следует помнить, что m - это суммарная масса платформы и исследуемого тела, положенного на нее.

Экспериментальная установка

Вид установки показан на рис.8. Отношение радиуса платформы к длине нитей подвеса R/l 0,05, что соответствует приближениям, используемым при выводе формулы (3.16).

Тела на платформу необходимо класть строго симметрично, так, чтобы не было перекоса платформы. Для облегчения определения положения грузов и более точной их установки на платформе нанесены радиальные линии и концентрические окружности на определенном расстоянии друг от друга (5 мм).

Вращательный импульс, необходимый для запуска крутильных колебаний, сообщается платформе путем поворота верхнего диска вокруг оси. Это достигается с помощью рычага, закрепленного на верхнем диске. При таком возбуждении почти полностью отсутствуют другие виды колебаний, наличие которых затрудняет измерения. При измерениях недопустимо пользоваться амплитудами колебаний, большими 10.

Измерение времени колебаний может проводиться или с помощью ручного секундомера или с помощью таймера.

Проведение эксперимента

Задание 1. Измерение момента инерции пустой платформы

Измерения и обработка результатов

1. Момент инерции пустой платформы Jпл определяется по формуле (3.16). При этом период колебаний пустой платформы Т и его погрешность определяются на опыте, а величины l, R, r, m и их погрешности даются, как постоянные установки.

2. Сообщают платформе вращательный импульс и измеряют время t некоторого числа (N = 15 -20) полных колебаний. Такие измерения повторяют 3 - 5 раз. Полученные результаты заносят в таблицу 3.1 отчета.

3. По экспериментальным данным для каждого опыта находят значение периода крутильных колебаний.

4. Находят среднее значение и полную погрешность периода колебаний. При этом систематическая погрешность в измерении периода может быть взята равной .

5. Вычисляют момент инерции платформы JплЭ . Находят величину относительной и абсолютной погрешности для момента инерции платформы.

6. Рассчитывают теоретически момент инерции платформы JплT, исходя из ее массы и размеров. Находят погрешность такого расчета.

7. Сравнивают измеренное на опыте и вычисленное теоретически значение момента инерции пустой платформы. Указывают на сколько процентов экспериментальное

значение отличается от теоретического: .

Задание 2. Определение моментов инерции тел заданной формы

Измерения и обработка результатов

1. Платформу поочередно нагружают исследуемыми телами таким образом, чтобы их центр масс совпадал с осью вращения платформы. В качестве исследуемых тел выбираются пластины, имеющие форму квадрата, прямоугольника, равностороннего треугольника, диска, а также другие тела правильной геометрической формы.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20