Отношение частот 2/1 равно отношению числа касаний фигуры Лиссажу с горизонтальной и вертикальной сторонами прямоугольника, в который он вписывается.

Если 1=2, то фигуры Лиссажу имеют форму эллипса:

. (10.3)

Такие колебания называются эллиптически поляризованными. На рис. 22 в верхней строке показаны частные случаи эллиптически поляризованных колебаний. Если, кроме того A1 = A2 , то траектория точки имеет вид окружности. Такие колебания называются циркулярно поляризованными (поляризованными по кругу). Если 2 -1) = k (k=0; 1;2; ...), то эллипс вырождается в отрезок прямой и колебания называются линейно поляризованными.

Сложение колебаний одного направления

При сложении колебаний одного направления с одинаковой амплитудой А и близкими частотами и + () возникают сложные колебания, называемые биениями. Запишем уравнения колебаний:

(10.4)

Сложив эти выражения, получим

(10.5)

(во втором множителе пренебрегаем членом /2, который значительно меньше ).

Движение, описываемое формулой (10.5), можно рассматривать как гармоническое колебание частоты с переменной амплитудой (рис. 23). Величина амплитуды определяется модулем множителя, стоящего в скобках. Частота пульсаций амплитуды (частота биений) равна разности частот колебаний, а период биений равен

(10.6)

Затухающими колебаниями называются колебания, энергия которых уменьшается с течением времени вследствие действия на колебательную систему сил сопротивления (трения). Если принять, что сила трения пропорциональна скорости колеблющегося тела , где r - коэффициент трения, то дифференциальное уравнение затухающих колебаний системы имеет вид

, (10.7)

где - коэффициент затухания, - частота свободных колебаний системы в отсутствие трения. Коэффициент затухания для данной колебательной системы и данной среды, в которой происходят затухания, является величиной постоянной. Промежуток времени =1/, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е (2,72) раз, называется временем релаксации.

Если 0 , то система совершает затухающие колебания:

, (10.8)

где A0 и 0 - постоянные, называемые начальной амплитудой и начальной фазой соответственно, . Величина

А(t)=A0e-t (10.9)

называется амплитудой затухающих колебаний и убывает по экспоненциальному закону (рис. 24). Опытная проверка (10.9) сводимая к графическому изображению зависимости А от t, связана с трудностью идентификации («распознавания») закономерности.

Задача упрощается переводом зависимости (10.9) в линейную путем замены переменных. Действительно, прологарифмируем (10.9)

lnA = lnA0 - t (10.10)

или . (10.11)

Теперь в координатах ln(A0/А), t получается прямая, изображенная на рис.25. Нетрудно видеть, что угловой коэффициент ее определяется соотношением

. (10.12)

Убывание A принято также характеризовать сравнением амплитуд, достигаемых через интервал t=T, где T= 2/ - период колебаний. Пусть в момент t амплитуда равна At , а в момент (t+T) - At+T . Отношение

= 1, (10.13)

называется декрементом затухания, характеризующим быстроту убывания амплитуды. Более удобен, однако, логарифмический декремент затухания

= ln = Т, = 1 , (10.14)

Величина, обратная логарифмическому декрименту затухания, дает число колебаний, в течении которых амплитуда затухающего колебания уменьшается в е раз.

Проведение эксперимента