Управляющее воздействие в ПИ-регуляторе вычисляется по формуле

а соответствующая ему передаточная функция

Или в другом виде

В соответствии с формулой (3.32) ПИ-регулятор представляет собой последовательное соединение интегрирующего и форсирующего звеньев, поэтому одновременно с повышением точности системы за счет выбора параметра TР могут быть обеспечены требуемые запасы устойчивости.

Дальнейшее повышение устойчивости может быть обеспечено введением дополнительного дифференцирующего звена, тогда управляющее воздействие определяется алгоритмом ПИД-регулятора

Передаточная функция

Выбором величин kИ, kП и kД добиваются требуемых точностных и динамических характеристик системы.

Структурная схема ПИД-регулятора приведена на рисунке 3.3.

Рисунок 3.3 – Структурная схема ПИД-регулятора

3.1     Настройка ПИ-регулятора

Один из простейших методов расчета параметров ПИ-регулятора основан на заданном расположении нулей и полюсов передаточной функции замкнутой системы. На вид переходного процесса наибольшее влияние оказывают корни, располагающиеся ближе к мнимой оси. Пусть некоторый корень λi – ближайший к мнимой оси корень характеристического уравнения. Тогда свободное движение системы описывается уравнением (3.5).

Степень устойчивости η, которая характеризует интенсивность затухания переходного процесса, напрямую влияет на время регулирования. Если некоторому заданному времени регулирования соответствует значение η, то для обеспечения заданного быстродействия нужно, чтобы корни характеристического уравнения располагались в заштрихованной области, показанной на рисунке 3.1.1,а.

Рисунок 3.1.1 – Расположение корней при заданных устойчивости и колебательности

Вторым показателем качества является число колебаний за время регулирования, которое оценивается степенью колебательности

Корням характеристического уравнения, которые лежат на лучах, проведенных под углом γ=arctg(m), соответствует степень колебательности m. Если корни расположены в заштрихованной области, то можно считать, что в системе обеспечена заданная колебательность.

Накладывая ограничения одновременно на быстродействие  и колебательность переходного процесса, получим область допустимого расположения полюсов передаточной функции (заштрихованная область на рисунке 3.1.1,в).

Корень λi должен иметь вид

и ему соответствует переходная составляющая

Характер затухания ω(t) оценивается величиной

которая называется степенью затухания (рисунок 3.1.2).

Рисунок 3.1.2 – Определение степени затухания

Подставляя значения из (3.1.3) и (3.1.4) при t=ti и t=ti+1, получается, что

Очевидно, что степень затухания ψ равна нулю в случае, когда процесс незатухающий (система на границе устойчивости). Если процесс имеет апериодический характер, то ψ=1. затухающий колебательный процесс соответствует 0<ψ<1.

Оптимальным переходам процессам в большинстве случаев соответствует значение степени затухания из диапозона

П- и И- регуляторы рассматриваются как частные случаи kИ=0 (П-регулятор) и  kП=0 (И-регулятор).

Интегральный закон управления делает замкнутую систему астатической. Качество  в переходном процессе ухудшается и с определенного kИ система становится неустойчивой.

В соответствии с желаемой степенью затухания ψ определяется из (3.1.5) величина m. Тогда условие нахождения хотя бы одного или пары корней характеристического уравнения замкнутой системы на границе допустимой области имеет вид

Выражение (3.1.6) получено по аналогии с критерием Найквиста для случая нейтральной системы:

только в передаточные функции объекта и регулятора подставляется на условие нахождения корней на мнимой оси s=jω. А

Подставим в уравнение (3.1.6) передаточную функцию регулятора (3.31) с учетом (3.1.7), и получим уравнение

Введем обозначения

Тогда в результате решения уравнения (3.1.8) получаются следующие формулы

Путем изменения частоты в пределах

строится зависимость kИ= kИ(kП).

Поскольку заранее неизвестно, при какой степени затухания переходный процесс будет оптимальным, эти зависимости строятся при ψ=0; 0,7; 0,8; 0,9. Семейство кривых kИ= kИ(kП) приведено на рисунке 3.1.3. Линия  ψ=0 соответствует границе устойчивости.

Рисунок 3.1.3 – Области параметров настройки ПИ-регулятора

Построим зависимости kИ= kИ(kП) при ψ =0,7; 0,8; 0,9.

Текст программы m-файла:

Kp = 1;

      Ki = 1;

      F = [0.7 0.8 0.9];    

      mm = -log(1-F)/(2*3.14);     

      hold on;   

      for i = 3:-1:1     

          m = mm(i);                                    

          for w = 1:1000

              s = -m*w+j*w;

              W = k/(T^2*s*s+2*z*T*s+1); 

              U = real(W);

              V = imag(W);

              Kp(w) = -(U+m*V)/(U^2+V^2);

              Ki(w) = - V*(m^2*w+w)/(U^2+V^2);

              if Ki(w) < 0

                  break;

              end;

          end;

          plot(Kp,Ki);

          grid on;

      end;

На рисунке 3.1.4 представлены зависимости kИ= kИ(kП) при степени затухания ψ =0,7; 0,8; 0,9 ;

Рисунок 3.1.4 – График зависимости kИ= kИ(kП) при ψ =0,7

Оптимальные значения настроечных параметров для П-регулятора получаются при kИ=0 как точки пересечения кривых с осью абсцисс, для И-регулятора ( kП=0) – при пересечении с осью ординат. Оптимальные значения параметров ПИ-регулятора определяются по кривой несколько правее точки максимума, как это показано на рисунке 3.1.3.

Значения настроечных  параметров для П- , И-  и ПИ-регуляторов, полученные по методике, основанной на заданном расположении нулей и полюсов передаточной функции, представлены в таблицах 2,3,4 соответственно.

Таблица 2 - Значения настроечных  параметров для П- регулятора (kИ=0)

Таблица 3 - Значения настроечных  параметров для И- регулятора (kП=0)

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6