Порядок применения критерия Михайлова:
1) Записывается характеристическое выражение замкнутой системы:
Dз(s) = A(s) + B(s).e-ts.
2) Подставляется s = jw: Dз(jw) =Re(w) + Im(w).
3) Записывается уравнение годографа Михайлова Dз(jw) и строится кривая на комплексной плоскости.
Для устойчивой АСР необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова (см. рис.), начинаясь при w = 0 на положительной вещественной полуоси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) при возрастании w от 0 до ¥ n квадрантов, где n - степень характеристического полинома.
Если годограф Михайлова проходит через начало координат, то говорят, что система находится на границе устойчивости.
3.1.6 Критерий Найквиста.
Данный критерий аналогичен критерию Михайлова, но работает с АФХ системы, поэтому более сложен для расчетов.
Последовательность:
1) Определяется передаточная функция разомкнутой системы .
2) Определяется число правых корней m.
3) Подставляется s = jw: W¥(jw).
4) Строится АФХ разомкнутой системы.
Для устойчивости АСР необходимо и достаточно, чтобы при увеличении w от 0 до ¥ АФХ W¥(jw) m раз охватывала точку (-1; 0), где m - число правых корней разомкнутой системы.
Если АФХ проходит через точку (-1; 0), то замкнутая система находится на границе устойчивости.
В случае, если характеристическое уравнение разомкнутой системы A(s) = 0 корней не имеет (т.е. m = 0), то критерий, согласно критерию, замкнутая система является устойчивой, если АФХ разомкнутой системы W¥(jw) не охватывала точку (-1; 0), в противном случае система будет неустойчива (или на границе устойчивости).
3.2. Показатели качества
Если исследуемая АСР устойчива, то может возникнуть вопрос о том, насколько качественно происходит регулирование в этой системе и удовлетворяет ли оно технологическим требованиям. На практике качество регулирования может быть определено визуально по графику переходной кривой, однако, имеются точные методы, дающие конкретные числовые значения.
Показатели качества разбиты на 4 группы:
1) прямые - определяемые непосредственно по кривой переходного процесса,
2) корневые - определяемые по корням характеристического полинома,
3) частотные - по частотным характеристикам,
4) интегральные - получаемые путем интегрирования функций.
3.2.1 Прямые показатели качества.
К ним относятся: степень затухания y, перерегулирование s, статическая ошибка ест, время регулирования tp и др.
Рис. 1.38
Сразу по ней определяется установившееся значение выходной величины ууст.
Степень затухания y определяется по формуле
,
где А1 и А3 - соответственно 1-я и 3-я амплитуды переходной кривой.
Перерегулирование s = , где ymax - максимум переходной кривой.
Статическая ошибка ест = х - ууст, где х - входная величина.
Время достижения первого максимума tм определяется по графику.
Время регулирования tp определяется следующим образом: Находится допустимое отклонение D = 5% ууст и строится «трубка» толщиной 2D. Время tp соответствует последней точке пересечения y(t) с данной границей. То есть время, когда колебания регулируемой величины перестают превышать 5 % от установившегося значения.
3.2.2 Корневые показатели качества.
К ним относятся: степень колебательности m, степень устойчивости h и др.
Не требуют построения переходных кривых, поскольку определяются по корням характеристического полинома. Для этого корни полинома откладываются на комплексной плоскости и по ним определяются:
Степень устойчивости h определяется как граница, правее которой корней нет, т.е.
h = min,
где Re(si) - действительная часть корня si.
Степень колебательности m рассчитывается через угол g: m = tg g. Для определения g проводятся два луча, которые ограничивают все корни на комплексной плоскости. g - угол между этими лучами и мнимой осью. Степень колебательности может быть определена также по формуле:
m = min .
3.2.3 Частотные показатели качества.
Для определения частотных показателей качества требуется построение АФХ разомкнутой системы и АЧХ замкнутой системы.
По АФХ определяются запасы: DA - по амплитуде, Dj - по фазе.
Запас DA определяется по точке пересечения АФХ с отрицательной действительной полуосью.
Для определения Dj строится окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Запас Dj определяется по точке пересечения с этой окружностью.
По АЧХ замкнутой системы определяются показатели колебательности по заданию М и ошибке МЕ как максимумы соответственно АЧХ по заданию и АЧХ по ошибке.
3.2.4 Связи между показателями качества.
Описанные выше показатели качества связаны между собой определенными соотношениями:
; tp = ; ; M = .
4. Настройка регуляторов.
4.1. Типы регуляторов.
Для регулирования объектами управления, как правило, используют типовые регуляторы, названия которых соответствуют названиям типовых звеньев:
1) П-регулятор (пропорциональный регулятор)
WП(s) = K1.
Принцип действия заключается в том, что он вырабатывает управляющее воздействие на объект пропорционально величине ошибки (чем больше ошибка е, тем больше управляющее воздействие u).
2) И-регулятор (интегрирующий регулятор)
WИ(s) = .
Управляющее воздействие пропорционально интегралу от ошибки.
3) Д-регулятор (дифференцирующий регулятор)
WД(s) = K2 s.
Генерирует управляющее воздействие только при изменении регулируемой веричины:
u = K2.
На практике данные простейшие регуляторы комбинируются в регуляторы вида:
4) ПИ-регулятор (пропорционально-интегральный регулятор)
WПИ(s) = K1 + .
Рис. 1.40
5) ПД-регулятор (пропорционально-дифференциальный регулятор)
WПД(s) = K1 + K2 s.
Рис. 1.41
6) ПИД-регулятор.
WПИД(s) = K1 + + K2 s.
Наиболее часто используется ПИД-регулятор, поскольку он сочетает в себе достоинства всех трех типовых регуляторов.
4.2. Определение оптимальных настроек регуляторов.
Регулятор, включенный в АСР, может иметь несколько настроек, каждая из которых может изменяться в достаточно широких пределах. При этом при определенных значениях настроек система будет управлять объектом в соответствии с технологическими требованиями, при других может привести к неустойчивому состоянию.
Поэтому стоит задача определить настройки, соответствующие устойчивой системе, но и выбрать из них оптимальные.
Оптимальными настройками регулятора называются настройки, которые соответствуют минимуму (или максимуму) какого-либо показателя качества. Требования к показателям качества устанавливаются непосредственно, исходя из технологических. Чаще всего накладываются требования на время регулирования (минимум) и степень затухания (Y ³ Yзад).
Однако, изменяя настройки таким образом, чтобы увеличить степень затухания, мы можем прийти к слишком большому времени регулирования, что нецелесообразно. И наоборот, стремясь уменьшить время регулирования, мы получаем более колебательные процессы с большим значением Y.
Зависимость Y от tp в общем случае имеет вид, изображенный на графике (см. рис. 1.42).
Поэтому для определения оптимальных настроек разработан ряд математических методов, среди которых метод D-разбиения.
Кривой D-разбиения называется кривая в плоскости настроек регулятора, которая соответствует определенному значению какого-либо показателя качества.
Например, требуется обеспечить степень затухания Y ³ Yзад. Имеется формула, связывающая Y со степенью колебательности m: . Далее строится кривая D-разбиения равной степени колебательности m. Последовательность построения:
1) Определяется ХПЗС Dз(s) с неизвестными настройками.
2) Делается подстановка s = jw - mw и разделение Dз(jw - mw) = Re(w) + Im(w).
3) Полученное выражение приравнивается к нулю и получается система
Re(w) = 0
Im(w) = 0
Данная система имеет несколько неизвестных: w и настройки регулятора.
4) Далее, изменяя w от 0 до ¥ эта система решается относительно настроек регулятора.
5) По полученным данным строится кривая, по которой определяются оптимальные настройки.
Например, для ПИ-регулятора кривая D-разбиения может иметь вид представленный на рисунке 1.43.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
