Рефераты. Управление техническими системами

        На комплексной плоскости входная величина x  = Авх.sin(wt) для каждого момента времени ti определяется вектором х на комплексной плоскости. Этот вектор имеет длину, равную Авх, и отложен под углом wti к действительной оси. (Re - действительная ось, Im - мнимая ось)

          Тогда величину х можно записать в комплексной форме

х(t) = Авх(cos(wt) + j.sin(wt)),

где j = - мнимая единица.

          Или, если использовать формулу Эйлера eja = cosa + j.sina, то можно записать

х(t) = Авх.ejwt.

          Выходной сигнал y(t) можно аналогично представить как вектор

y(t) = Авых.ej(wt+j).

          Рассмотрим связь передаточной функции и частотной характеристики.

          Определим производные по Лапласу:

                             у ® Y

                             у’ ® sY

                             у” ® s2Y и т.д.

          Определим производные ЧХ:

                             у’(t) = jw Авыхеj(wt + j) = jw у,

                             у”(t) = (jw)2 Авыхеj(wt + j) = (jw)2 у   и т.д.

          Отсюда видно соответствие s = jw. Вывод: частотные характеристики могут быть построены по передаточным функциям путем замены s = jw.

          Пример: .

          При s = jw имеем:

 =  =  =  =

          =  - j = Re(w) + j Im(w).

          Изменяя w от 0 до ¥, можно построить АФХ (см. рис.). ¨

Для построения АЧХ и ФЧХ используются формулы:

        ,                .

Формулы получения АФХ по АЧХ и ФЧХ:

        Re(w) = A(w) cos j(w),

        Im(w) = A(w) sin j(w).

 

 

          2.7.2 Логарифмические частотные характеристики.

          Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) используются довольно часто для описания динамических параметров различных устройств. Существуют два основных вида ЛЧХ, которые, как правило, используются совместно и изображаются в виде графиков:


1) ЛАЧХ - логарифмическая АЧХ.

Формула для построения ЛАЧХ: L(w) = 20.lg Aвых(w).

Единица измерения - децибел (дБ).

       На графике ЛАЧХ по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе. Это означает, что равным величинам отрезков по оси w соответствуют кратные значения частоты. Для ЛЧХ кратность = 10.

          По оси ординат откладываются значения L(w) в обычном масштабе.

2) ЛФЧХ - логарифмическая ФЧХ. Представляет из себя ФЧХ, у которой ось частоты w проградуирована в логарифмическом масштабе в соответствии с ЛАЧХ. По оси ординат откладываются фазы j.

          Примеры ЛЧХ.

1. Фильтр низких частот (ФНЧ)

                   ЛАЧХ                            ЛФЧХ                        Пример цепи








          Фильтр низких частот предназначен для подавления высокочастотных воздействий.

2. Фильтр высоких частот (ФВЧ)

                   ЛАЧХ                            ЛФЧХ                         Пример цепи







          Фильтр высоких частот предназначен для подавления низкочастотных воздействий.

3. Заградительный фильтр.

Заградительный фильтр подавляет только определенный диапазон частот

          ЛАЧХ и ЛФЧХ                                    Пример цепи

 







.








          3. Качество процессов управления.

          3.1. Критерии устойчивости.

          3.1.1 Устойчивость.

          Важным показателем АСР является устойчивость, поскольку основное  ее назначение заключается в поддержании заданного постоянного значения регулируемого параметра или изменение его по определенному закону. При отклонении регулируемого параметра от заданной величины (например, под действием возмущения или изменения задания) регулятор воздействует на систему таким образом, чтобы ликвидировать это отклонение. Если система в результате этого воздействия возвращается в исходное состояние или переходит в другое равновесное состояние, то такая система называется устойчивой. Если же возникают колебания со все возрастающей амплитудой или происходит монотонное увеличение ошибки е, то система называется неустойчивой.

          Для того, чтобы определить, устойчива система или нет, используются критерии устойчивости:

1) корневой критерий,

2) критерий Стодолы,

3) критерий Гурвица,

4) критерий Найквиста,

5) критерий Михайлова и др.

          Первые два критерия являются необходимыми критериями устойчивости отдельных звеньев и разомкнутых систем. Критерий Гурвица является алгебраическим и разработан для определения устойчивости замкнутых систем без запаздывания. Последние два критерия относятся к группе частотных критериев, поскольку определяют устойчивость замкнутых систем по их частотным характеристикам. Их особенностью является возможность применения к замкнутым системам с запаздыванием, которыми является подавляющее большинство систем управления.


          3.1.2 Корневой критерий.

          Корневой критерий определяет устойчивость системы по виду передаточной функции. Динамической характеристикой системы, описывающей основные поведенческие свойства, является характеристический полином, находящийся в знаменателе передаточной функции. Путем приравнивания знаменателя к нулю можно получить характеристическое уравнение, по корням которого определить устойчивость.

          Корни характеристического уравнения могут быть как действительные, так и комплексные и для определения устойчивости откладываются на комплексной плоскости (см. рис. 1.34).

(Символом      обозначены корни уравнения).

Виды корней характеристического уравнения:

- Действительные:

          положительные (корень № 1);

          отрицательные (2);

          нулевые (3);

- Комплексные

          комплексные сопряженные (4);

          чисто мнимые (5);

По кратности корни бывают:

          одиночные (1, 2, 3);

          сопряженные (4, 5): si = a ± jw;

          кратные (6) si = si+1 = …

          Корневой критерий формулируется следующим образом:

          Линейная АСР устойчива, если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости. Если хотя бы один корень находится на мнимой оси, которая является границей устойчивости, то говорят, что система находится на границе устойчивости. Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости (не зависимо от числа корней в левой), то система является неустойчивой.

          Иными словами, все действительные корни и действительные части комплексных корней должны быть отрицательны. В противном случае система неустойчива.

          Пример 3.1. Передаточная функция системы имеет вид:

.

Характеристическое уравнение: s3 + 2s2 + 2.25s + 1.25 = 0.

Корни: s1 = -1;     s2 = -0,5 + j; s3 = -0,5 - j.

Следовательно, система устойчива. ¨


          3.1.3 Критерий Стодолы.

          Этот критерий является следствием из предыдущего и формулируется следующим образом: Линейная система устойчива, если все коэффициенты характеристического полинома положительны.

          То есть, для передаточная из примера 3.1 по критерию Стодола соответствует устойчивой системе.



          3.1.4 Критерий Гурвица.

          Критерий Гурвица работает с характеристическим полиномом замкнутой системы. Как известно, структурная схема АСР по ошибке имеет вид (см. рис.)

Wp - передаточная функция регулятора,

Wy - передаточная функция объекта управления.

       Определим передаточную функцию для прямой связи (передаточную функцию разомкнутой системы, см. п. 2.6.4): W¥ = Wp Wy.

          Далее с учетом наличия отрицательной обратной связи получаем передаточную функцию замкнутой системы:

.

          Как правило, передаточная функция разомкнутой системы имеет дробно-рациональный вид:

.

          Тогда после подстановки и преобразования получаем:

.

          Отсюда следует, что характеристический полином замкнутой системы (ХПЗС) можно определить как сумму числителя и знаменателя W¥:

Dз(s) = A(s) + B(s).

          Для определения устойчивости по Гурвицу строится матрица таким образом, чтобы по главной диагонали были расположены коэффициенты ХПЗС с an+1 по a0. Справа и слева от нее записываются коэффициенты с индексами через 2 (a0, a2, a4… или a1, a3, a5 …). Тогда для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель и все главные диагональные миноры матрицы были больше нуля.

          Если хотя бы один определитель будет равен нулю, то система будет находится на границе устойчивости.

          Если хотя бы один определитель будет отрицателен, то система неустойчива не зависимо от числа положительных или нулевых определителей.

          Пример.  Дана передаточная функция разомкнутой системы

.

          Требуется определить устойчивость замкнутой системы по критерию Гурвица.

          Для этого определяется ХПЗС:      

D(s) = A(s) + B(s) = 2s4 + 3s3 + s2 + 2s3 + 9s2 + 6s + 1 = 2s4 + 5s3 + 10s2 + 6s + 1.

             Поскольку степень ХПЗС равна n = 4, то матрица будет иметь размер 4х4. Коэффициенты ХПЗС равны а4 = 2, а3 = 5, а2 = 10, а1 = 6, а0 = 1.

          Матрица имеет вид:

(обратите внимание на сходство строк матрицы: 1 с 3 и 2 с 4). Определители:

Δ1 = 5 > 0,

,

Δ4 = 1* Δ3 = 1*209 > 0.

          Поскольку все определители положительны, то АСР устойчива.   ♦




          3.1.5 Критерий Михайлова.

          Описанные выше критерии устойчивости не работают, если передаточная функция системы имеет запаздывание, то есть может быть записана в виде

,

где t - запаздывание.

          В этом случае характеристическое выражение замкнутой системы полиномом не является и его корни определить невозможно. Для определения устойчивости в данном случае используются частотные критерии Михайлова и Найквиста.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15



2012 © Все права защищены
При использовании материалов активная ссылка на источник обязательна.