Закон изменения выходного сигнала обычно
является функцией, которую необходимо найти, а входной сигнал, как правило,
известен. Некоторые типовые входные сигналы были рассмотрены в п. 2.3. Здесь
приводятся их изображения:
единичное ступенчатое воздействие имеет изображение X(s) = ,
дельта-функция X(s) = 1,
линейное воздействие X(s) = .
Пример. Решение ДУ с использованием преобразований
Лапласа.
Допустим, входной сигнал имеет форму
единичного ступенчатого воздействия, т.е. x(t) = 1. Тогда изображение входного сигнала X(s) = .
Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу и
подставляем X(s):
s2Y + 5sY + 6Y = 2sX + 12X,
s2Y + 5sY + 6Y = 2s + 12,
Y(s3 + 5s2 + 6s) = 2s + 12.
Определяется выражение для Y:
.
Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов
и изображений. Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых
дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s(s + 2)(s + 3):
==++=
= .
Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить
систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
М1 + М2
+ М3 = 0 M1 = 2
5.М1
+ 3.М2 + 2.М3 = 2 à M2 = -4
6.М1
= 12 M3 = 2
Следовательно, дробь можно представить как сумму трех дробей:
=-+.
Теперь, используя табличные функции, определяется оригинал
выходной функции:
y(t) = 2 -
4.e-2t + 2.e-3t. ¨
2.6. Передаточные функции.
2.6.1 Определение передаточной
функции.
Преобразование ДУ по Лапласу дает возможность ввести удобное
понятие передаточной функции, характеризующей динамические свойства системы.
Например, операторное уравнение
3s2Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)
можно преобразовать, вынеся X(s) и Y(s) за скобки и поделив друг на друга:
Y(s)*(3s2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)
.
Полученное выражение называется передаточной функцией.
Передаточной функцией называется отношение изображения выходного
воздействия Y(s) к изображению входного X(s) при
нулевых начальных условиях.
(2.4)
Передаточная функция является дробно-рациональной функцией
комплексной переменной:
,
где B(s) = b0 + b1s
+ b2 s2 + … + bm sm - полином числителя,
А(s) = a0 + a1s + a2 s2 + … + an sn - полином знаменателя.
Передаточная функция имеет порядок, который определяется
порядком полинома знаменателя (n).
Из (2.4) следует, что изображение выходного сигнала можно
найти как
Y(s) = W(s)*X(s).
Так как передаточная функция системы полностью определяет ее
динамические свойства, то первоначальная задача расчета АСР сводится к
определению ее передаточной функции.