Переходная функция замкнутой системы равна:
[pic].
Для вычисления f[n] найдем полюса функции
Полюся функции:
z1 = 1;
z2 = -0,021;
z3 = 0,84;
z4 = 0,935-j0,171;
z5= 0,935+j0,171;
z6=0,98.
Производная знаменателя функции:
B’(z) = 6z5-23.347 z4+34.893 z3-24.39 z2+7.505z-0.660
Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу
(4.13), получим выражение для f[n]:
[pic]
где а = z1;
b = z2;
c = z3;
d = z4;
e = z5;
f = z6.
Изобразим переходый процесс на рисунке 4.4
Рисунок 4.4 - Переходный процесс в системе с ПИД – регулятором.
5 Расчет цифрового фильтра
Для расчета цифрового фильтра, переводящего линейную часть из
начального в конечное состояние за минимальное число периодов квантования и
обеспечивающего ограничение на заданное управляющие воздействие, необходимо
вычислить минимально возможный период квантования, но чтобы было
удовлетворено условие:
|Um – q0|(0,05, (5.1)
где Um = 1,0.
Вычисление значения q0 следует начать с определения значений
коэффициентов числителя Z-передаточной функции приведенной непрерывной
части для принятого периода дискретности. Пусть Z-передаточная функция
приведенной непрерывной части представима в виде:
[pic]. (5.2)
Тогда Z-передаточная функция оптимального по быстродействию цифрового
фильтра Wф(z) имеет вид:
[pic], (5.3)
где pi = biq0, i = 1,2,…,m;
qi = aiq0, i = 1,2,…,m;
Воспользуясь формулой (4.7) для Wнч(z) . Находим функции bi , аi и
Т0.
Для коэффициентов bi имеем:
[pic]; (5.4)
[pic];(5.5)
[pic]. (5.6)
Для коэффициентов аi имеем:
[pic]; (5.7)
[pic]; (5.8)
[pic]. (5.9)
Найдем выражение для q0 :
[pic][pic]. (5.10)
Определим Т0 при котором выполняется условие (5.1), для этого
построим график зависимости и изибразим его на следующем рисунке 5.1.
Рисунок 5.1 – График зависимости |Um – q0(Т0)|
При построении графика видим, что Т0 = 4,61 , q0(Т0) = 1,002.
Определим коэффициенты , подставив найденное значение Т0 в
выражение (5.4) и (5.5):
b1(Т0) = 0,718;
b2(Т0) = 0,332;
b3(Т0) = -0,052;
a1(Т0) = -0,932;
a2(Т0) = 0,281;
a3(Т0) = -0,027;
Подставляя найденные значения в выражения (5.2) и (5.3) определим
передаточные функции приведенной непрерывной части и цифрового фильтра.
[pic]. (5.7)
[pic]. (5.8)
Находим Z – передаточную функцию для разомкнутой цифровой системы по
формуле:
Wp(z) = Wн.ч.(z) * Wф(z). (5.9)
Определим Z – преобразованную функцию замкнутой системы по каналу
задание – управляюшее воздействие по формуле:
[pic], (5.10)
задание – выходной сигнал по формуле:
Пусть f – функция определяющая зависимость между q0 от Т0, т.е.
q0=f(Т0), тогда f –1 – обратная ей функция, т.е. Т0=f –1(q0). Для того,
чтобы найти период квантования необходимо минимизировать функцию
Т0=f –1(q0) с учетом условия (5.1).
Так как в явном виде функцию Т0=f –1(q0) вывести сложно, но из
графика видно, что она монотонно убывает, следовательно минимум на отрезке
q0 ( [3,45; 3,55] будет при q0=3,55.
Расчет Т0 сводится к решению уравнения
[pic]. (5.11)
Для решения данного уравнения воспользуемся алгоритмом поиска корня
уравнения методом дихотомии. После решения уравнения мы получили, что
Т0 =1,25.
Подставляя значение Т0 =1,25 в выражения (5.4)-(5.9) найдем
коэффициенты Z-передаточной функций приведенной непрерывной части.
Тогда
[pic]. (5.12)
При этом q0 =3,540075. Согласно формуле (5.3)
[pic]. (5.13)
Найдем Z-передаточную функцию разомкнутой цифровой системы. Она равна
Wр(z)=Wнч(z)(Wф(z) и равна
[pic]. (5.14)
Z-передаточная функция замкнутой цифровой системы по каналу задание –
управляющие воздействие равна
[pic] (5.15)
и равна
выходная величина равна
[pic] (5.16)
Вычислим коэффициенты усиления по указанным каналам. По определению
коэффициент усиления есть отношение изменения на выходе к изменению на
входе в установившемся режиме, т.е.
[pic]. (5.17)
Так как
[pic], (5.18)
то подставляя выражения (5.15) и (5.16) в выражение (5.17) найдем, что
((()=1, а ((()=0,4. Так как (x(()=1, а ((0-)=0 и ((0-)=0, то коэффициент
усиления по каналу задание – выходная величина равен 1, а по каналу задание
– управляющие воздействие равен 0,4.
Построим переходную функцию цифрового фильтра. Она равна
Находим 2 полюса 1-го порядка и 1 полюс 2-го порядка. Полюса
1-го порядка: z=-0,307 и z=-0,045. Полюс 2-го z=1. Для вычисления
переходной функции необходимо вычислить производную следующей функции
[pic]. Производная данного выражения равна
Тогда передаточная функция примет вид
Изобразим переходный процесс на графике.
Рисунок 5.2 – Переходная функция цифрового фильтра.
Для построения переходных процессов в замкнутой цифровой системе по
каналам задание – выходная величина и задание – управляющие воздействие
воспользуемся уравнениями в конечных разностях.
Суть метода заключается в следующем. Пусть передаточная функция
цифровой системы
Этой передаточной функции соответствует уравнение в конечных
разностях:
Значение искомой выходной величины равно
[pic]. (5.19)
Согласно формуле (5.19) получим, что переходная функция замкнутой цифровой
системе по:
( каналу задание – выходная величина
y[k]=0,647726(x[k-1] –0,620803(x[k-2] –0,037272(x[k-3] +0,149369(x[k-4]
–0,024633(x[k-2] –0,001394(x[k-2] +1,481007(y[k-1] –0,695097(y[k-2]+
+0,101098(y[k-3];
( каналу задание – управляющие воздействие
y[k]=3,540075(x[k] –10,485749(x[k-1] +12,686121(x[k-2] –
–8,004397(x[k-3] +2,770507(x[k-4] –0,497542(x[k-5]+0,036182(x[k-6]+
+1,481007(y[k-1] –0,695097(y[k-2]+ +0,101098(y[k-3].
Данные расчетов были сведены в таблицы с учетом того, что x[k]=1.
Таблица 5.1 – Переходная функция замкнутой цифровой системе
по каналу задание – выходная величина
|k |y[k] |
|0 |0 |
|1 |0,648 |
|2 |0,986 |
|3 |1 |
|4 |1 |
6 Оптимальное управляющие воздействие и реакция на него приведенной
непрерывной части
Оптимальное управляющие воздействие было найдено в пункте 5 и в
координатах времени имеет следующий вид:
((t)=3,54(h(t)-h(t-T0)) –1,703(h(t-T0)-h(t-2(T0))+
(6.1)
+0,758(h(t-2(T0)-h(t-3(T0))+0,4 h(t-3(T0),
где
h(t) – функция Хевисайда;
T0 – период квантования равный 1,25.
((t)=3,54(h(t)-h(t-1,25)) –1,703(h(t-1,25)-h(t-2,5))+ (6.2)
+0,758(h(t-2,5)-h(t-3,75))+0,4 h(t-3,75).
Изобразим данное управляющее воздействие на графике.
Рисунок 6.1 – Оптимальное управляющие воздействие.
Для нахождения реакции непрерывной линейной части на данное
воздействие воспользуемся изображением Лапласа. Используя свойство
линейность данного изображения и теорему запаздывания найдем, что
((t)= 3,54(g(t) - g(t-1,25)) –1,703(g(t-1,25)-g(t-2,5))+
(6.3)
+0,758(g(t-2,5)-h(t-3,75))+0,4 h(t-3,75),
g(t)=f(t)h(t),
[pic]– переходная функция линейной части, найденная нами в пункте 4.
Изобразим реакцию непрерывной линейной части на оптимальное
управляющие воздействие.
Рисунок 6.2 – Реакция непрерывной линейной части на оптимальное управляющие
воздействие
На этом все построения окончены.
Заключение
В данной курсовой работе был сделан синтез и анализ оптимальной
одноконтурной САУ при использовании трех типов регуляторов, реализующих П-,
ПИ- и ПИД-закон регулирования. Проведены сравнительный характеристики
данных типов регуляторов и был сделан вывод, что ПИД-закон регулирования
является наилучшим среди рассмотренных.
Были проведены расчеты по использованию данных регуляторов в цифровых
системах. Как показали расчеты, несмотря на то, что цифровые системы – это
системы дискретного действия и действуют через определенные промежутки
времени, переходные процессы в цифровых системах не сильно отличаются от
переходных процессов в непрерывных системах, а конечное состояние выходной
величины одинаково. Кроме того развитие микропроцессорной техники и
использование теории управления в цифровых системах позволяют создать
регуляторы различной сложности и с заранее заданных свойствами. Один из
регуляторов, обеспечивающий перевод системы из одного состояния в другое за
минимальное число периодов квантования при наличии ограничения на
управляющие воздействие, был синтезирован в данной курсовой работе.
Список литературы
1. Пугачев В.И. Методические указания по курсу: «Теория автоматического
управления» для студентов всех форм обучения специальности 21.01 –
автоматика и управление в технических системах. Часть I. Краснодарский
политехнический институт – Краснодар, 1990. – 157 с.
2. Пугачев В.И. Методические указания по курсу: «Теория автоматического
автоматика и управление в технических системах. Часть III. Краснодарский
политехнический институт – Краснодар, 1995. – 114 с.
3. Колосов С. П., Калмыков И. В.,Нефедова В. И. “Элементы автоматики”
издательство “Машиностроение”, Москва, 1970.
-----------------------
неверно
Страницы: 1, 2, 3, 4
