4 АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УТРАВЛЕНИЯ ПО КРИТЕРИЮ
ДЖУРИ И ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ
При анализе цифровых систем управления их представляют в виде трех
элементов: цифрового фильтра (регулятора), фиксатора и приведенной
непрерывной части.
где y – дискретное значение регулируемой величины;
f – заданное значение регулируемой величины;
e – ошибка управления;
u – управляющее воздействие.
Рисунок 4.1 Структурная схема цифровой системы автоматического
управления
Так как в системе имеет мести фиксатор нулевого порядка с
передаточной функцией вида:
[pic], (4.1)
то с учетом того, что z = e –pT , эту функцию можно записать в следующем
далее виде:
[pic]. (4.2)
Сомножитель 1/р относят к линейной части, поэтому передаточная
функция приведенной непрерывной части может быть записана в следующем виде:
[pic]. (4.3)
Так как
[pic]
[pic],
переходная фнукция ленейной части системы, то z – передаточную функцию
линейной части находим по следующему выражению:
[pic]. (4.4)
Найдем выражение для передаточной функции линейной части:
[pic]. (4.5)
Для вычисления h(t) воспользуемся методом неопределенных
коэффициентов. Необходимо определить полюса. Для этого необходимо найти
корни следйющего уравнения:
([pic])*р = 0.
Решив данное уравнение мы получили , что его корни следующего вида:
p1 = 0;
p2 = - 0,2;
p3 = - 0,33;
p4= -0,25.
Переходная функция линейной части имеет следующий вид:
h(t) = -21,93e-0.2t –4.03e-0.33t +22.86e-0.25t +3.1 . (4.6)
С учетом формулы (4.4) получаем
[pic].
После раскрытия скобок и приведения подобных мы получаем равенство в
следующем виде:
[pic]. (4.7)
Результирующая передаточная функция разомкнутой системы может быть
определена как произведение передаточной функции приведенной непрерывной
чати и передаточной функции цифрового фильтра:
[pic]. (4.8)
Дискретная передаточная функция замкнутой системы:
[pic]. (4.9)
Определим значение W3(z) для каждой из систем:
- система с П – регулятором. Wр(z) = 1.01, Wн.ч.(z) – определеня по
формуле (4.7), тогда:
[pic]; (4.10)
- система с ПИ – регулятором.
[pic];
Wн.ч.(z) – определена по формуле (4.7), тогда:
[pic]; (4.11)
- система с ПИД – регулятором.
[pic]. (4.12)
После того , как получим выражение дискрктных передаточных функций
для всех систем, проанализируем устойчивость этих систем по критерию Джури.
Критерий устойчивости заключается в следующем.
Пусть задан А(z) – характкристический полином:
A(z) = a0zn + a1n-1 + … + an, a0 > 0.
Введем понятие обратного полинома, получаемого перестановкой
коэффициентов исходного в обратном порядке:
A(z) = anzn + an-1n-1 + … + a0.
Разделим A(z) на обратной ему. В итоге получаем частное от деления
число q0 и остаток А1(z) – полином n-1 степени.
Домножим полученый результат на z-1 получаем:
A1(z) = (a0-anq0)zn-1 + … + (an-1-a1q0).
Затем делим остаток A1(z) на обратный ему A10(z) и определяем новое
q1 и A2(z)
[pic] и т.д.
Выполняя деление полиномов Ai(z) на обратные ему Ai0(z), получаем
последовательность чисел qi = {q0, q1, q2,…,qn-2}.
Необходимым и достаточным условием устойчивости цифровой системы
является неравенства:
А(1)=(a0+ a1+ a2+…+an)>0;
(-1)nА(-1)=(a0(-1)n + a1(-1)n-1 +…+an)>0;
|qi|0 .
(-1)3A(-1)= -(1 - 2.7544 + 2.5359 - 0.7817) >0.
А(z) = z3-2.7544z2+2.5359z - 0.7817
Обратный полином
Разделим A(z) на A0(z).
|[pic] |[pic] |
|-([pic]) |-0.7817=q0, |q0|0.
(-1)4A(-1)= [pic]>0.
Обратный полином:
|0.78-3.326z+5.3001z2-3.756z3+ z4 |1-3.7556z+5.3001z2-3.32z3+0.7834z4 |
|-(0.78-2.943z+4.152z2-2.606z3+0.61z|0,783447=q0, |q0|0.
(-1)5A(-1)=[pic]>0.
|[pic] |0,01589163=q0, |q0|<1 |
0,7347z-3,1644z2+5,102835z3-3,6802818z4+0,999747z5
Домножим полученный результат на z-1, тогда:
A1(z)= 0,7347-3,1644z+5,102835z2-3,6802818z3+0,999747z4,
A10(z)= 0.99974 -3,680218z+5,1028z2-3,1644z3+0,7347z4.
Разделим A1(z) на A10(z).
|0,7347-3,1644z+5,102835z2-3,6802818|0,7347-3,1644z+5,102835z2-3,6802818|
|z3+0,999747z4 |z3+0,999747z4 |
|-(0,7347-2.704z+3.750z2-2.3256z3+0.|0,734938361=q1, |q1|<1 |
|53999z4) | |
-0,4596z+1,3255z2-1,3545z3+0,4597z4
A2(z)= -0,4596+1,3255z-1,3545z2+0,4597z3,
A20(z)= -0,4597+1,3545z-1,3255z2+0,4596z3.
Разделим A2(z) на A20(z).
|-0,4596+1,3255z-1,3545z2+0,4597z3 |-0,4597+1,3545z-1,3255z2+0,4596z3 |
| -0,4596-1,3244z+1,3525z2+0,4595z3 |-0,99986442=q2, |q2|<1 |
-0,0288981z-0,02926z2+0,91927z3
A3(z)= -0,0288981-0,02926z+0,91927z2,
A30(z)= 0,91927-0,02926z-0,02889881z2.
Разделим A3(z) на A30(z).
|-0,0288981-0,02926z+0,91927z2 |0,91927-0,02926z-0,02889881z2 |
|0,0288981-0,0009198z+0,0.028898z2 |0,0314359=q2, |q2|<1 |
-0,0305301z+1.028762z2
A4(z)= -0,0305301+1.028762z.
В результате расчетов получили, что q0, q1, q2 по модулю меньше
еденицы, таким образом все три неравенства выполняются. Следовательно
цифровая система устойчива.
После того, как определили устойчивость системы по критерию Джури,
необходимо построить переходный процессы в замкнутых цифровых системах.
Для построения переходных процессов в замкнутых цифровых системах
воспользуемся обратным z-преобразованием.
Eсли функция имеет m-полюсов zk={z1, z2,…, zn} , то:
[pic], (4.13)
где A(zk) – числитель функции W3(z);
B’(zk) – производная знаменателя функции W3(z);
Замкнутая система с П – регулятором.
Передаточная функция для цифровой замкнутой системы с П-регулятором
имеет вид:
Переходная функция замкнутой системы равна:
Для вычисления f[n] найдем полюса функции
Полюся функции:
z1 = 1;
z2 = 0,8422;
z3 = 0,954 – j0,313;
z4= 0,954 – j0,313.
Производная знаменателя функции:
B’(z) = -11.25z2+10.574z-3.317+4z3.
Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу
(4.13), получим выражение для :
где a = z1;
b = z2;
c = z3;
d = z4;
Изобразим переходый процесс на рисунке 4.2
Рисунок 4.2 - Переходный процесс в системе с П – регулятором
Замкнутая система с ПИ – регулятором.
Передаточная функция для цифровой замкнутой системы с ПИ-регулятором
[pic];.
z2 = 0.847;
z3 = 0.965;
z4 = 0.973 – j0.0113;
z5= 0.973 + j0.0113.
B’(z) = 5z4-19.027z3+27.171 z2-17.253z+4.110
(4.13), получим выражение для f[n]:
где а = z1;
e = z5;
Изобразим переходый процесс на рисунке 4.3
Рисунок 4.3 - Переходный процесс в системе с ПИ – регулятором
Замкнутая система с ПИД – регулятором.
Передаточная функция для цифровой замкнутой системы с ПИД-регулятором
Страницы: 1, 2, 3, 4
