Сделаем в системе (11) замену переменных:
Тогда из (11):
или .
Пусть , тогда
. (12)
Эта система уравнений является канонической формой уравнений движения. Мы рассматриваем случай простых корней характеристического уравнения матрицы A, поэтому J=diag A.
Для того, чтобы состоянию равновесия xk=0, y=0 системы уравнений (11) соответствовало единственное состояние равновесия zk=0, e=0 последней системы уравнений, требуется, чтобы определитель системы (12) был отличен от нуля, то есть
.
Учитывая, что J-1=T-1A-1T, , получаем:
Исследуем устойчивость тривиального решения системы уравнений (12), приведенной к канонической форме. Для исследования построим функцию Ляпунову специального вида, предложенную А. И. Лурье, с помощью этой функции найдем условия, накладываемые на параметры регулятора, при выполнении которых тривиальное решение систем (12) и (11) асимптотически устойчиво.
Пусть все корни характеристического уравнения det(A–lE)=0 простые и лежат в левой полуплоскости, то есть Re li<0, i=1,2,…,n. Функцию Ляпунова будем искать в виде
Чтобы была положительно определенной, требуется, чтобы первое слагаемое представляло собой положительно определенную квадратичную форму, тогда первое слагаемое будет строго положительным для всех , удовлетворяющих условию . Второе слагаемое в силу условий, накладываемых на функцию f(e), будет строго положительной для всех e, удовлетворяющих условию e¹0. Таким образом, функция будет определенно положительной, если квадратичная форма положительно определена.
Составим полную производную функции по времени t в силу (12):
Так как B – симметрична, то BT=B, получим
Заменим C=–(JTB+BJ). Матрица С симметрична, поэтому
Видно, что является квадратичной формой относительно z1,…,zn, f(e). Если характеристические числа матрицы A удовлетворяют условию lj+li¹0, то по заданной симметричной матрице C однозначно определяется матрица B:
. (13)
Пусть матрица A устойчива, то есть ее характеристические числа лежат в левой полуплоскости. Существует теорема, которая утверждает, что если С – матрица некоторой положительно определенной квадратичной формы, то определенная по формуле (13) матрица B также является матрицей положительно определенной квадратичной формы.
Получим условия, накладываемые на параметры САР для того, чтобы функция была функцией Ляпунова. Возьмем некоторую матрицу C положительно определенной квадратичной формы, тогда матрица B тоже будет матрицей некоторой положительно определенной квадратичной формы. Для того, чтобы функция была функцией Ляпунова, требуется, чтобы ее производная в силу системы (12) была отрицательно определенной функцией. Для положительной определенности функции – требуется, согласно критерию Сильвестра, положительность всех главных диагональных миноров матрицы квадратичной формы. Так как матрица C положительно определенная, то первые n неравенств критерия выполняются, и остается одно:
Это условие является необходимым и достаточным условием отрицательной определенности производной . Перепишем его в виде
. (14)
Согласно второй теореме об асимптотической устойчивости состояний равновесия zk=0, e=0 системы (12) будет асимптотически устойчиво. При выполнении неравенства (см. выше), получим, что
. (15)
Это будет означать асимптотическую устойчивость тривиального решения xk=0, y=0 системы уравнений (11). Таким образом, неравенства (14) и (15) являются достаточным условием асимптотической устойчивости состояния равновесия системы (11).
Когда характеристическое уравнение матрицы A имеет один нулевой корень, то выделим компоненту z1 вектор-функции в виде . Тогда система (12) запишется в виде:
где – (n-1)-мерная вектор-функция, J’ – диагональная матрица порядка (n-1)x(n-1), и – (n-1)-мерные вектор-столбцы, b0 и c0 – скалярные величины. Функцию Ляпунова будем искать в виде
Если квадратичная форма является положительно определенной и a>0, то функция будет положительно определенной в пространстве .
Для того чтобы выражение в фигурных скобках представляло собой отрицательно определенную квадратичную форму, необходимо и достаточно, чтобы
Если b0c0<0, то можно подобрать такое положительное a, чтобы выполнялось равенство
Тогда производная будет знакоотрицательной функцией.
11. Экспоненциальная устойчивость
Пусть свободное движение системы S описывается уравнением
(1)
где функция определена, непрерывна и дифференцируем на некотором открытом множестве
Полагаем, что , то есть существует равновесие , а в области определения выполняются неравенства:
– решение данной системы при начальных условиях . Равновесие называется экспоненциально устойчивым, если для любых значений из области ||x0||<r, t0>0 можно выбрать такие два положительные числа M и a, что для всех t>t0 справедливо неравенство:
. (2)
Кривая будет мажорантой для кривой .
Согласно теореме Красовского, если каждое решение системы (1) удовлетворяет условию (2) экспоненциальной устойчивости положения равновесия , то в области существует функция Ляпунова , такая, что ее полная производная по времени в силу уравнений движения имеет знак, противоположный знаку V. Функция V удовлетворяет оценкам:
, (3)
где с1, c2, c3, c4 – вещественные числа, .
Условия теоремы всегда выполняются для линейных стационарных асимптотически устойчивых систем, и в этом случае функция Ляпунова не зависит от t и представляет собой квадратичную форму
,
При t®¥ в устойчивой свободно движущейся системе с функцией Ляпунова вида и, следовательно, функция Ляпунова V также стремится к нулю. Из (3) следует, что
Заменим во втором неравенстве из (3) правую часть большой величиной . Неравенство усилится:
. (5)
Это линейное дифференциальное неравенство, на основе которого можно получить мажоранту и построить мажорирующую модель сравнения.
. (5a)
Это уравнение, соответствующее предыдущему неравенству или порожденное неравенством. Решение этого уравнения имеет вид:
. (6)
Представим полученное решение в виде равенства:
где d(t) – неизвестная функция времени, о которой можно сказать лишь то, что она неотрицательна для всех t³t0, для которых выполняется (5). Тогда решение:
Поскольку d(t) положительна, получим неравенство
. (7)
Если выбрать V0=z0, правая часть этого неравенства становится равной решению (6), и мы получим:
Заменим в правой части (7) V0 на бόльшую величину , а в левой V(t) – на меньшую :
. (8)
Извлекая из обоих частей квадратный корень, получим линейное относительно неравенство
Таким образом решение z(t) уравнения (5a), определяемое (6), будет мажорировать:
а) функцию Ляпунова V(t), если V(t0)≤z0, что следует из (7) и (6);
б) функцию квадрата нормы переменной состояния , если , что вытекает из (8) и (6).
Поскольку матрица H положительно определенная , то все ее собственные значения вещественны и положительны, и мы можем выразить через них c1 и c2:
(9)
где lm(H) – наименьшее, а lM(H) – наибольшее из собственных значений матрицы H. Далее
Так как H – симметрична, то
Отсюда
, или (10)
При этом в (9)–(10) было использовано свойство симметрических вещественных матриц:
. (11)
Наибольшее lM(H) и наименьшее lm(H) собственные значения матрицы H, если H положительно определена, будут вещественными и положительными.
Таким образом для функции , независимо от вида (1) и (3) можно записать:
Коэффициент будет зависеть от вида уравнения.
Для линейной стационарной системы
имеем
Обозначим , где G – положительно определенная симметрическая матрица. Следовательно,
то есть в данном случае также является квадратичной формой, и на основании (11) можно записать
Таким образом, для квадратичных функций Ляпунова и для корней квадратных из них в случае стационарной системы все коэффициенты в неравенствах (3) Красовского выражены через собственные значения матриц H и G.
12. Главная обратная связь по состояниям. Метод модального управления
Пусть система S описывается уравнением:
Требуется найти такое управление u(t), что оно переводит систему из некоторой начальной точки в начало координат 0n, то есть .
Будем искать управление u(t) в виде
– это главная обратная связь по состояниям. Подставим эту функцию в исходное уравнение. Получим
Для оценки устойчивости этой линейной системы воспользуемся первым методом Ляпунова. Согласно первому методу Ляпунова, у матрицы все собственные числа должны быть отрицательны. Зададим некоторые собственные числа l1,…,ln<0 для этой матрицы и из ее характеристического полинома найдем числа k1,…,kn, составляющие вектор . Мы сможем найти вектор в случае, если система S полностью управляема.
Таким образом, введя модальное управление вида (1), можно обеспечить любое заданное распределение корней характеристического уравнения матрицы .
Методику нахождения модального управления лучше всего пояснить на примере.
Пример: требуется найти управление, переводящее систему
в состояние .
Управление будем искать в виде
;
Подставим это управление в исходное уравнение. Получим
Найдем характеристический полином этой матрицы:
Зададим корни характеристического уравнения такими: . Теперь, если мы подставим их в характеристическое уравнение, мы получим одно уравнение с двумя неизвестными.
Поступим иначе: составим характеристический полином, корнями которого будут и :
Однако полином (2) имеет те же самые корни, что и последний полином, следовательно, мы записали одно и то же, то есть
Два полинома равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях независимой переменной (в данном случае l). Получим систему уравнений:
Отсюда находим, что . Следовательно, искомое управление будет иметь вид:
13. Асимптотический наблюдатель Люенбергера
Рассмотрим систему
Если эта система полностью наблюдаема, то можно построить такое устройство, которое называется асимптотический наблюдатель Люенбергера, на выходе которого получим оценку вектора состояния:
, (2)
где – так называемая невязка между выходом и наблюдением; – полученная оценка состояния и выхода.
Назовем вектором ошибки разность между состоянием системы и его оценкой :
Вычтем из первого уравнения системы (1) первое уравнение системы (2). Получим
Если (A–LCT) – гурвицева матрица, то , и значит .
Матрица будет или не будет гурвицевой в зависимости от матрицы L. То есть, мы можем обеспечить любое заданное распределение корней характеристического уравнения матрицы , задавая матрицу L.
Пример: найти L для системы
для корней характеристического уравнения .
Решение: .
Составим характеристические полиномы:
Корни этих полиномов должны быть равны, поэтому приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях:
Отсюда получим, что .
Чтобы , необходимо, чтобы у гурвицевой матрицы главные диагональные миноры были положительными. Проверим это:
Значит, .
Список литературы
1. Математические основы теории автоматического регулирования, т. 1. Под ред. Б. К. Чемоданова. М., 1977
2. Справочное пособие по теории систем автоматического регулирования и управления. Под ред. Е. А. Санковского. Минск, 1973.
3. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем.
Страницы: 1, 2, 3, 4
