Рефераты. Теория устойчивости систем

Теория устойчивости систем

Министерство образования РФ

Южно-Уральский государственный университет

 

Кафедра Автоматики и управления

 







Реферат

по математическим основам теории систем

на тему

Теория устойчивости систем







Выполнил:

Группа: ПС-263

Проверил: Разнополов О. А.




Челябинск

2003

Содержание:


1. Устойчивость в смысле Ляпунова............................................................... 3

2. Свойства устойчивых систем...................................................................... 4

3. Устойчивость тривиального решения......................................................... 4

4. Устойчивость линейных систем.................................................................. 5

5. Устойчивость линейных систем с постоянными коэффициентами............ 5

6. Критерии устойчивости линейных систем.................................................. 6

7. Второй метод Ляпунова............................................................................... 8

8. Линеаризация систем дифференциальных уравнений............................... 10

9. Исследование устойчивости линейных систем с помощью второго метода Ляпунова......................................................................................................................... 12

10. Исследование устойчивости нелинейных систем с помощью второго метода Ляпунова........................................................................................................................ 12

11. Экспоненциальная устойчивость............................................................. 16

12. Главная обратная связь по состояниям. Метод модального управления 19

13. Асимптотический наблюдатель Люенбергера......................................... 21

Список литературы........................................................................................ 23


1. Устойчивость в смысле Ляпунова


Под устойчивостью системы обычно понимают свойство системы автоматического регулирования (САР) возвращаться к первоначальному состоянию после прекращения действия внешнего возмущения. Полагая, что САР описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, рассмотрим устойчивость решения дифференциальных уравнений. Пусть поведение САР описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений

,

где xi – переменные, характеризующие состояние системы. Запишем систему в векторном виде:

Введем в рассмотрение (n+1)-мерное пространство En+1, координатами в котором будут являться переменные t, x1, x2, …, xn. Будем рассматривать только такие системы, правые части которых непрерывны по всем аргументам и имеют непрерывные частные производные по зависимым переменным x1, x2, …, xn в некоторой выпуклой области G пространства En+1. В этом случае выполняются условия теоремы существования и единственности, то есть для любых начальных значений t0, x10, x20, …, xn0 существует и при том единственное решение xi=si(t, xi0­), i=1, 2, …, n, удовлетворяющее начальным условиям si(t0, xi0­)=xi0, i=1, 2, …, n. Потребуем бесконечной продолжаемости данного решения, то есть будем считать функции si(t) определенными для t0≤t≤¥, причем t0 можно считать равным ¥.

Рассмотрим некоторое решение xi=si(t) данной системы, определенное на интервале [t0,¥), причем si(t0)=xi0. Решение si(t), i=1, 2, …, n называется устойчивым по Ляпунову при t® ¥, если для любого e>0 существует такое d>0, зависящее от e и t0, что любое решение xi=ji(t), для которого при t=t0 выполняется неравенство

|ji(t0)–si(t0)|<d,

удовлетворяет неравенству

|ji(t)–si(t)|<e, t0≤t≤¥

для всех i=1, 2, …, n.



Геометрически это означает, что все решения, которые при t=t0 начинаются в d-окрестности точки (x10, x20, …, xn0), никогда не покинут e-трубку решения si(t) (рис. 1).

Решение si(t), i=1, 2, …, n, называется неустойчивым, если существует e>0 такое, что для любого d>0 найдется такой момент времени t=t1, что для некоторого значения i=k будет выполняться неравенство

|jk(t1)–sk(t1)|³e,

несмотря на то, что

|ji(t0)–si(t0)|<d

для всех i=1, 2, …, n.

Решение si(t) называется асимптотически устойчивым, если:

1)          решение si(t) устойчиво по Ляпунову при t® ¥;

2)          существует такое число H>0, что для любого решения ji(t), удовлетворяющего при t=t0 неравенству |ji(t0)–si(t0)|<H, i=1, 2, …, n, будет справедливо равенство

.

Если H=¥, то динамическая система называется устойчивой в целом. Если нулевое состояние линейной системы асимптотически устойчиво, то оно асимптотически устойчиво в большом, то есть асимптотическая устойчивость выполняется для всех начальных состояний и не ограничена состояниями, достаточно близкими к нулевому состоянию.

Линейная система называется устойчивой (асимптотически устойчивой), если ее начальное состояние устойчиво (асимптотически устойчиво). Нелинейные системы могут иметь асимптотически устойчивое состояние равновесия, не будучи асимптотически устойчивыми в большом, то есть устойчивость справедлива в локальном смысле.

2. Свойства устойчивых систем


Система, описываемая векторным дифференциальным уравнением

,

устойчива в смысле Ляпунова тогда и только тогда, когда найдется постоянная M, которая будет зависеть от t, такая, что

где Ф(t,t0) – переходная матрица, то есть .

Линейная система  асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда:

1)          имеется постоянная M, такая, что ;

2)         

Вектор состояния стационарной системы не может возрастать быстрее, чем некоторая экспонента. Это верно и для нестационарной системы при условии, что матрица A(t) остается ограниченной для всех t³t0.

3. Устойчивость тривиального решения


Исследование устойчивости любого решения системы

,

можно свести к исследованию устойчивости тривиального решения .


Пусть xi=si(t) – некоторое решение системы. Введем новые переменные yi=xi–si(t), тогда

Очевидно, что gi(0,0,…,0)º0, то есть последняя система будет иметь тривиальное решение yi(t) º0. Эта система носит название системы уравнений возмущенного движения.

Введем в рассмотрение два пространства: Ex решений системы

,

и пространство Ey решений системы

.

Каждой интегральной кривой пространства Ex соответствует интегральная кривая пространства Ey, причем кривой xi=si(t) соответствует yi(t)º0 (рис. 2). Если решение xi=si(t) устойчиво в пространстве Ex, то решение yi(t)º0 устойчиво в пространстве Ey, и наоборот. Поэтому вместо исследования устойчивости решения xi=si(t) можно исследовать устойчивость тривиального решения.

Тривиальное решение yi(t)º0 будет устойчивым по Ляпунову, если для любого e>0 существует такое d>0, зависящее от e и от t0, что для любого решения yi=ji(t), удовлетворяющее при t=t0 неравенству |ji(t0)|<d, выполняется неравенство |ji(t)|<e при t0≤t<¥ для всех i=1,2,…,n.

Особое значение имеет устойчивость состояния равновесия. Состояние равновесия определяется корнями уравнения

fi(x1,x2,…,xn)=0, i=1,2,…,n.

4. Устойчивость линейных систем


Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений

где aij(t) и fi(t) – непрерывные функции в полуинтервале t0≤t<¥.

Однородная система, соответствующая данной, имеет вид

.

Эта система имеет тривиальное решение

Любое решение однородной системы дифференциальных уравнений устойчиво тогда и только тогда, когда устойчиво тривиальное решение. Отсюда следует, что в линейной однородной системе с непрерывными коэффициентами из устойчивости хотя бы одного решения вытекает устойчивость всех остальных решений, и наоборот, если неустойчиво хотя бы одно решение, то все остальные решения также неустойчивы.

Однородная система дифференциальных уравнений, все решения которой устойчивы, называется устойчивой системой.

Линейная однородная система дифференциальных уравнений устойчива тогда и только тогда, когда каждое ее решение ограничено для t³t0.

Линейная однородная система дифференциальных уравнений асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда асимптотически устойчиво ее тривиальное решение.

Линейная неоднородная система дифференциальных уравнений устойчива (асимптотически устойчива) тогда и только тогда, когда устойчива (асимптотически устойчива) соответствующая однородная система дифференциальных уравнений.

5. Устойчивость линейных систем с постоянными коэффициентами

Страницы: 1, 2, 3, 4



2012 © Все права защищены
При использовании материалов активная ссылка на источник обязательна.