.
Тогда функция V(x1,…,xn) является положительно определенной, если положительно определена вышеуказанная квадратичная форма.
Дадим знакоопределенной функции V(x1,…,xn) геометрическую интерпретацию. Рассмотрим функцию двух переменных V(x1,x2). На плоскости x1, x2 линия V(x1,x2)=с (c – некоторое число) представляет собой замкнутую кривую, содержащую внутри себя начало координат (рис. 3). При c=0 кривая стягивается в начало координат.
Пусть si(t) – некоторое решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям si(t0)=xi0.
Полной производной по времени t функции V(x1,…,xn) в силу системы (1) называется функция
,
или, учитывая формулу полной производной,
Из этой формулы следует, что производная в силу системы (1) не зависит от выбранного решения s(t), а является функцией точки . Иначе полученное выражение можно записать так:
Производная представляет собой скалярное произведение вектора на вектор фазовой скорости . При >0 фазовые траектории системы (1) пересекают поверхность в сторону возрастания , а при <0 – в сторону убывания.
Положительно определенные функции , производные которых в силу системы (1) являются отрицательно определенными или знакоотрицательными, называются функциями Ляпунова.
Теорема Ляпунова об устойчивости гласит, что если для системы уравнений (1) существует положительно определенная функция , производная которой в силу системы (1) знакоотрицательна, то тривиальное решение системы (1) устойчиво по Ляпунову.
Пусть для системы дифференциальных уравнений (1) существует положительно определенная функция , производная которой в силу системы (1) отрицательно определена. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости гласит, что тогда тривиальное решение системы (1) асимптотически устойчиво по Ляпунову.
Теорема Ляпунова о неустойчивости утверждает, что если для системы уравнений (1) существует непрерывная функция , удовлетворяющая условию , производная которой в силу системы (1) знакоопределенная, причем в любой окрестности начала координат имеются точки, в которых знак функции совпадает со знаком ее производной, то тривиальное решение системы неустойчиво в смысле Ляпунова.
8. Линеаризация систем дифференциальных уравнений
Пусть поведение САР описывается системой дифференциальных уравнений
(1)
Пусть , то есть начало координат является состоянием равновесия. Будем полагать, что функции fi(x1,…,xn), i=1,2,…,n имеют непрерывные частные производные в некоторой области . Разложим функции fi(x1,…,xn) в ряд Тейлора в окрестности точки (0,0,…,0):
(2)
а функции ji(x1,…,xn) содержат члены разложения порядка малости выше первого относительно переменных x1,…,xn и поэтому
. (3)
С учетом равенств (2) систему (1) можно переписать в виде
где A=[aij] – числовая матрица, а – вектор-столбец, удовлетворяющий условию
Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
называется системой первого приближения для системы уравнений (1).
Функцию fi(x1,…,xn) можно получить в другом виде, не только разложением в ряд Тейлора. Существенно при этом, чтобы нелинейные члены ji(x1,…,xn) удовлетворяли условию (3).
Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению гласит, что тривиальное решение системы
асимптотически устойчиво по Ляпунову, если все корни характеристического уравнения матрицы A этой системы имеют отрицательные вещественные части, то есть Re li<0, i=1,2,…,n.
Согласно теореме Ляпунова о неустойчивости по первому приближению, если среди корней характеристического уравнения матрицы A имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то тривиальное решение данной системы неустойчиво.
В том случае, когда среди корней характеристического уравнения имеются нулевые или чисто мнимые корни, нельзя судить об устойчивости тривиального решения данной системы по уравнениям первого приближения. В этом случае, называемом критическим, устойчивость или неустойчивость тривиального решения зависит от нелинейной части . Путем соответствующего выбора можно сделать решение либо устойчивым, либо неустойчивым.
Пример 1: исследовать устойчивость тривиального решения системы уравнений
Система первого приближения для этой системы имеет вид
Характеристическое уравнение
Его корни: . Первый корень лежит в правой полуплоскости. Значит, решение исходной системы неустойчиво.
Пример 2: исследовать устойчивость тривиального решения системы уравнений
Система первого приближения:
Характеристическое уравнение:
Его корни: l1=l2=–1.
Оба корня лежат в левой полуплоскости, значит, тривиальное решение системы устойчиво.
9. Исследование устойчивости линейных систем с помощью второго метода Ляпунова.
Рассмотрим линейную стационарную систему:
Пусть положение равновесия этой системы будет находится в точке . Будем искать функцию Ляпунова в виде:
Рассмотрим производную этой функции в силу уравнения (1):
Мы получили также квадратичную форму. Поэтому чтобы производная по времени от функции Ляпунова была отрицательно определенной, эта квадратичная форма должна быть отрицательно определенной. Обозначим:
Зададим матрицу G как некоторую положительно определенную матрицу. Тогда мы получим уравнение относительно матрицы H, называемое уравнением Ляпунова.
Если матрица H, найденная из этого уравнения, является положительно определенной матрицей, то система устойчива, в противном случае система неустойчива.
10. Исследование устойчивости нелинейных систем с помощью второго метода Ляпунова
Рассмотрим анализ устойчивости состояния равновесия некоторого класса нелинейных систем автоматического регулирования с помощью второго метода Ляпунова. Полагаем, что нелинейная САР состоит из линейного объекта регулирования и нелинейного регулятора. Поведение объекта регулирования описывается линейной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая в векторной записи имеет вид:
, (1)
где – вектор координат, характеризующих состояние объекта регулирования;
y – скалярная координата, характеризующая воздействие регулятора на объект регулирования (регулирующее воздействие).
Матрица А полагается невырожденной (det A
Регулятор имеет в своём составе сервомеханизм, управление которого
и чувствительный момент, формирующий сигнал ошибки
, (3)
где – вектор постоянных коэффициентов; r – скалярный параметр обратной связи. Относительно нелинейной функции будем полагать, что , если e¹0. В точке e=0 допускается разрыв непрерывности первого рода, функция f(e) предполагается непрерывной при e¹0.
Введем следующую классификацию рассматриваемых нелинейных САР в зависимости от характера корней характеристического уравнения матрицы A. САР будет:
1) собственно устойчива, если все корни характеристического уравнения матрицы A имеют отрицательные вещественные части, то есть Re li<0;
2) нейтральна по координатам x1,…,xk, если Re l1=Re l2=…=Re lk=0, а остальные корни имеют отрицательные вещественные части;
3) собственно неустойчива, если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть.
Рассмотрим случай, когда корни характеристического уравнения матрицы A простые и удовлетворяют условию Re li≤0, i=1,2,…,n. Определим состояния равновесия, которые могут быть в нелинейной САР, описываемой уравнениями (1)–(3). Эти состояния равновесия представляют собой решения системы линейных алгебраических уравнений
(4)
Рассмотрим вспомогательную систему уравнений:
. (5)
Пусть определитель этой системы не равен нулю:
. (6)
В этом случае эта система уравнений имеет единственное решение, которое мы найдем по правилу Крамера:
(7)
Если a2=0, то из второго уравнения системы (4) следует, что e=0, и, согласно равенствам (7) получаем xk=0 (k=1,…,n) и y=0. Таким образом, система дифференциальных уравнений (1)–(3) имеет единственное состояние равновесия с координатами
xk=0, y=0 (k=1,…,n). (8)
Если a2¹0, то система уравнений (4) может иметь несколько решений. Из (7) и (4) следует
(9)
Это уравнение может иметь различные решения в зависимости от знака величины Ba2 и формы кривой f(e). Если Ba2<0, то уравнение (9) имеет единственное решение e=0, и система уравнений (4) имеет решение (8). Если Ba2>0, то уравнение (9) может иметь несколько решений. Обозначим их e1, …, em; тогда система (4) имеет m решений, определяемых равенствами
xki=Akei (k=1,…,n), yi=Bei (i=1,…,m). (10)
Таким образом, в зависимости от вида нелинейной функции f(e) и значений a2 и B в САР возможны следующие виды состояния равновесия:
1) Единственное состояние равновесия (8);
2) Конечное число состояний равновесия (10).
Исследование устойчивости любого из состояний равновесия (10) может быть сведено к рассмотрению устойчивости тривиального решения (8).
Пусть a1=1, a2=0. Тогда
. (11)
Исследование устойчивости тривиального решения системы (11) удобно проводить, когда уравнения приведены к канонической форме. Канонической формой уравнений (11) назовем такой их вид, когда матрица A приведена к жордановой форме. Для любой числовой матрицы A существует такая невырожденная матрица T, что T-1AT=J, где J – жорданова форма матрицы A.
Страницы: 1, 2, 3, 4
