Позначимо фазову швидкість поширення поздовжньої хвилі в не п’єзоелектричному середовищі Vо, а фазову швидкість поширення цієї ж хвилі в п’єзоелектрику V. Можна записати

де r — щільність середовища. Для коефіцієнтів жорсткості с11 і с11(р) можна записати співвідношення

де k1-коефіцієнт електромеханічного зв'язку для поздовжньої хвилі. Із цих рівностей можна одержати:

Таким чином, відносна зміна фазової швидкості ідеальної об'ємної поздовжньої хвилі, викликана п'єзоелектричним ефектом, пропорційна квадрату коефіцієнта електромеханічного зв'язку для цієї хвилі.

У випадку ПАХ її швидкість зміниться, якщо вільну поверхню п’єзоелектрика покрити ідеально провідним шаром, товщиною якого можна зневажити. Зміна швидкості ПАХ викликано тією обставиною, що провідний шар закорочує складову електричного поля, що паралельна поверхні. Це явище має велике значення для практичних застосувань, особливо при збуренні ПАХ за допомогою перетворювача. У зв'язку із цим теоретично й експериментально були визначені швидкості ПАХ на вільній і металізованій поверхнях для різних напрямків поширення хвиль і різної орієнтації поверхні. Якщо позначити через Dv різницю між швидкістю на вільній поверхні v й і швидкістю на металізованій поверхні v о, то величину Dv / v о можна вважати мірою зв'язку.

Коефіцієнт електромеханічного зв'язку k для ПАХ, як і для поздовжньої хвилі, визначається співвідношенням

Це співвідношення підтверджене експериментально. Також в інший спосіб визначено коефіцієнт електромеханічного зв'язку:

Тут ΔVµ = Vµ — Vo, при цьому Vµ — фазова швидкість ПАХ у випадку «вільних» граничних умов [тобто поверхневий імпеданс Zp прилягаючого середовища нескінченний і діелектрична проникність для даного середовища дорівнює нулю, що практично важко здійсненно] й Vo — фазову швидкість при «закороченных» граничних умовах (Zp = 0, що прилягає середовище провідна). Зв'язок з визначенням задається співвідношенням

де

Для рішення завдання про поширення ПАХ необхідно знати інтенсивність і напрямок потоку енергії. Перенос енергії у випадку гармонійної зміни в часі всіх величин при квазистатическом наближенні електричного поля можна характеризувати в будь-якій крапці середовища (використовуючи електроакустичну аналогію) за допомогою комплексного вектора Пойнтинга р — поняття, широко використовуваного в теорії електромагнітного поля. Інтенсивність ПАХ в напрямку осі Х обумовлена як середнє значення потужності, що пройшла через одиницю поверхні перпендикулярно осі, є дійсною складовою i-ої компоненти комплексного вектора Пойнтинга:

де символ Re позначає дійсну складову, а зірочкою відзначені комплексно-сполучені величини. Наведені величини дані в масштабі амплітуд. У випадку непьезоелектрического середовища відсутній член jDi* у виразі для р і п'єзоелектричний внесок ekijEk у виразі для Tij.

Інтенсивність ПАХ в обраному напрямку, обумовлений формулою для р, зменшується в напрямку вглиб середовища. В елементах електроніки на ПАХ нас, як правило, цікавить інтегральна величина - загальний потік енергії ПАХ в даному напрямку, що лежить у площині границі двох середовищ. При цьому маємо на увазі середню енергію, що ПАХ переносить на поверхні в смузі шириною 1 м:

За винятком випадків псевдоповерхневих хвиль, які будуть описані нижче, величина P3 = 0, і потік енергії ПАХ паралельний поверхні.

В анізотропному середовищі в загальному випадку напрямок потоку енергії ПАХ не паралельний напрямку її поширення. Відхилення потоку енергії від напрямку поширення можна характеризувати відношенням величин Р1/P2 заданих останнім виразом. Випадок коли напрямок, поширення ПАХ, обумовлений хвильовим вектором, збігається з напрямком потоку енергії ПАХ, називається чистою модою ПАХ.

Рисунок 5.1 Криві повільності для ПАХ, що поширюються в площині (110) у нікелі

Оскільки нас цікавить напрямок потоку енергії, можна також використати таке поняття, як крива повільності (рис. 5.1). Цю криву одержимо, відкладаючи в напрямку поширення ПАХ значення, обернено пропорційні її швидкості.

Напрямок групової швидкості, тобто напрямок потоку енергії (вектора Р), для даного напрямку поширення ПАХ, певного хвильовим вектором, задано напрямком нормалі до кривої повільності. На рис. 5.1 кут t визначає напрямок поширення й Ф — кут між векторами Р и к, тобто кут відхилення потоку енергії від напрямку поширення. Із кривої на рис. 5.1 можна визначити напрямку, уздовж яких поширюються чисті моди ПАХ (вони позначені кружечками), що характеризуються тим, що вектори Р и к колінеарні. Наприклад, для напрямків, близьких до кута υ = 90° (рис. 5.1), потік енергії ПАХ відхиляється в напрямку υ = 90°, отже, пучок ПАХ фокусується.

Для ПАХ в ізотропному середовищі Використаємо загальне рішення, наведене в попередніх розділах, для випадку поширення ПАХ в ізотропному неп'єзоелектричному напівпросторі. Із властивостей вектора поляризації треба, щоб механічні змішання в цьому випадку мають місце лише в сагітальній площині. Пружні коливання назвемо поверхневою хвилею Релея. Запишемо рівняння для розрахунку фазової швидкості vr, які виходять з вікового рівняння системи:

де vt й vi являють собою відповідно швидкість поперечних й повздовжніх об'ємних хвиль, що завжди більше швидкості ПАХ Релея vj . Для складових змішань при поширенні уздовж осі Xi дійсні співвідношення мають позитивні дійсні значення, з -пр вільна константа, що залежить від інтенсивності ПАХ. З формули слідує, що поздовжня (U) і поперечна (V) складові змішання зсунуто по фазі на 90°, що є причиною еліптичного руху часток. На рис. 5.2 показана залежність амплітуд коливань хвиль Релея від відстані до поверхні. З малюнка видно, що хвиля торкає шар під поверхнею товщиною лише кілька довжин хвиль.

Рисунок 5.2 Залежність складових ПАХ Релея від глибини, вираженої в одиницях довжин хвиль

Крива 1 — поздовжня складова з негативним знаком, крива 2 — поперечна складова; криві нормовані відносно амплітуди поперечної складової на поверхні ізотропного твердого тіла.

Вектор Пойнтинга паралельний напрямку поширення хвилі й швидко зменшується із глибиною (-х3). Рух середовища, викликане ПАХ Релея, наочно зображено на 5.3, де показана деформація прямокутної сітки в сагиттальній площини. Дійсні зсуви становлять величини порядку 10-5 довжини хвилі ПАХ.

Рисунок 5.3 Залежність інтенсивності хвиль Релея

Залежність інтенсивності хвиль нормованої по одиничній амплітуді на поверхні ізотропного твердого тіла, від глибини, вираженої в одиницях довжин хвиль

Рисунок 5.4 Деформація прямокутної сітки в сагітальній площини, викликана ПАХ Релея в ізотропному середовищі

А — незбурена поверхня, В — рух поверхні, викликаний ПАХ

Інтервали позначають зсув у різних крапках твердого тіла.

Деякі основні властивості ПАХ в анізотропному середовищі аналогічні властивостям ПАХ Релея. Вони мають еліптичну поляризацію, перенос хвильової енергії відбувається в приповерхньому шарі й фазовій швидкості не залежить від частоти. Однак анізотропія може вносити ряд відмінностей. Наприклад, фазова швидкість залежить від напрямку поширення, і потік енергії не обов'язково паралельний хвильовому вектору. Площина еліптичної поляризації хвилі може не збігатися із сагітальною площиною, і в тих випадках, коли вона збігається з нею, головні осі еліпса (рис. 5.4) не обов'язково паралельні осям Х1 н Х3. Загасання амплітуди хвилі в загальному випадку відбувається не за експонентним законом, а по синусоїді з експоненциально загасаючою амплітудою. Якщо анізотропне середовище має п'єзоелектричні властивості, то крім трьох складових механічних змішань існує й електричний потенціал, завдяки чому швидкість поширення ПАХ стає залежної від електричних умов на поверхні або поблизу її. У цьому випадку ПАХ супроводжується електричним полем з еліптичною поляризацією в сагітальної площини.

Підкладки для ПАВ можна вибирати із цілого ряду комбінацій орієнтації поверхні, напрямку поширення хвилі й кристалографічної симетрії середовищ. Найбільш широке поширення одержали матеріали з відносно високою кристалографічною симетрією. Це пов'язане з тим, що напрямок потоку енергії в них паралельно хвильовому вектору. Ці напрямки відповідають екстремумам криво повільності (рис. 5.1). Деякі екстремуми визначаються значенням пружних і п'єзоелектричних констант, інші тільки кристаллографічною симетрією середовища. Необхідною й достатньою умовою для існування чистої моди є задоволення однієї з наступних умов:

А) Якщо сагітальна площина (Х1, Х3) є площиною дзеркальної симетрії, то вісь X1 являє собою напрямок поширений чистої моди. Рішення розпадається на дві незалежні частини: одна містить складову змішання и2, друга — складові и1, и3, j .

Б) Якщо сагітальна площина перпендикулярна осі симетрії другого порядку кристалу, та вісь Х1 є напрямком поширення чистої моди. Рішення розпадається на дві незалежні частини, одна з яких містить складові и1 й и3, друга — иг , j .

Наведені випадки, коли детермінанти систем рівнянь розпадаються на дві незалежні частини, називають вирожденими. Нижче розглянуті три випадки, коли задовольняються обоє умови або одне з них.

Напрямку поширення чистої моди, що задовольняють умовам А и Б

Середовище, у якій обоє умови задовольняються одночасно, не може бути п'єзоелектричним, тому що має центр симетрії. Як приклад можна привести поширення ПАВ у напрямку кристалографічної осі уздовж базової площини неп'єзоелектричного кристала з кубічною симетрією. У цьому випадку рішення рівняння розпадається на дві незалежні частини. Складова и2 приводить до появи об'ємної поперечної хвилі, що задовольняє граничним умовам на поверхні. Із другої частини рішення одержимо дві константи b(т), які на відміну від ізотропного середовища не обов'язково будуть розташовуватися на негативній мнимій осі, тому що 2с44≠c11-c12. Дійсні частини констант b(т) приводять до осциллирующей амплітуди змішання, у той час як мнимі частини характеризують загасання.

Направлення поширення чистої моди, що задовольняють умові А.Цей випадок з найпоширеніших, він відповідає орієнтації поширення ПАХ уздовж осі Х3 на поверхні Х1Х2 кристала ниоба-та літію (клас 3т). Оскільки для вираження дійсно Г12 = Г23 = Г24 = 0, рішення розпадається на дві незалежні частини. Одне рішення, що задовольняє граничним умовам, містить лише складову змішання й, отже, приводить до об'ємної хвилі, по-Ризованной перпендикулярно сагітальній площини. Ця об'ємна на відрізняється від хвилі, розглянутої в попередньому випадку, тим, що хвильовий вектор відхилений від поверхні (у напрямку усередину середовища). У той час як напрямок потоку енергії паралельно осі Х1. Друге рішення, що містить потенціал j і дві складові и1 і и3, представляють собою ПАХ Релея в п’єзоелектрики.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11