1.4.3 Определение оценок прямых ПК

Выражение для построения вещественной частотной характеристики (ВЧХ) системы по выходу ДОС (рис. 1.19):

.

Рис. 1.19. ВЧХ по выходу ДОС

По графику ВЧХ замкнутой системы можно оценить прямые ПК [1, §8.5].

1. Оценка перерегулирования.

В данном случае график  имеет положительный максимум и отрицательный минимум. Тогда верхняя оценка перерегулирования:

,

где  – положительный максимум ВЧХ;

 – отрицательный минимум ВЧХ;

– начальное значение ВЧХ.

Следовательно: .

2. Оценка времени регулирования.

Время регулирования находится в пределах:

,

где  – частота положительности.

Тогда: .

Выражения для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ замкнутой системы по выходу ДОС (рис. 1.20):

,

,

.

Рис. 1.20. ЛЧХ замкнутой системы по выходу ДОС

1.4.4 Определение корневых оценок прямых ПК

Оценить прямые ПК можно также по корням ПФ ЗС:

.

Нули передаточной функции – корни полинома числителя:

.

Полюса передаточной функции – корни полинома знаменателя:

,

,

,

,

,

.

Изобразим нули и полюса на комплексной плоскости (рис. 1.21).

Рис. 1.21. АФЧХ разомкнутой системы

Чтобы оценить прямые ПК необходимо определить доминирующие полюса. Близко расположенные нуль и полюс компенсируют друг друга. Полюс, скомпенсированный нулем, не участвует в оценке прямых ПК. Если выполняется хотя бы одно из неравенств критерия «близости», то нуль компенсирует полюс:

,

.

Проверим выполнение критерия «близости» нуля  и полюса :

,

.

Ни одно из неравенств не выполняется, следовательно, близко расположенных нулей и полюсов нет.

Доминирующим является вещественный полюс , так как он наиболее близко расположен к мнимой оси. Из этого следует, что система имеет апериодическую степень устойчивости , равную величине вещественной части доминирующего полюса ().

1. Оценка времени регулирования.

Верхняя оценка времени регулирования определяется по формуле:

,

где ; .

Тогда: , .

2. Оценка перерегулирования.

Нижняя оценка перерегулирования:

,

где  – колебательность;

 – наиболее близкие к мнимой оси комплексно-сопряженные корни.

Тогда: .

1.4.5 Оценка точности системы

Точность системы характеризует величина установившейся ошибки, для определения которой воспользуемся методом коэффициентов ошибок.

Запишем ПФ ЗС по ошибке:

Данную функцию можно разложить в ряд Тейлора по степеням s:

 ,

где – коэффициенты ошибок.

Переходя от изображения к оригиналу, выражение для установившейся ошибки можно представить в виде:

 (                                           1)

Известно два способа, определения коэффициентов ошибки :

1. Вычисление производных соответствующих порядков ПФ ЗС в точке s=0:

,

.

2. Деление уголком полинома числителя ПФ ЗС на полином знаменателя. Для этого необходимо коэффициенты числителя и знаменателя записать в порядке возрастания степени s, начиная со свободного члена:

.

Делить весь полином числителя нет необходимости, так как необходимо узнать только первые три коэффициента ошибки:

, , .

В данном случае система астатическая первого порядка, так как в прямой цепи системы имеется интегрирующее звено, а также . С увеличением коэффициента усиления разомкнутой системы Кр значения коэффициентов ошибки  и  уменьшаются, однако увеличение Кр приводит к ухудшению показателей качества переходной характеристики, а при Кр больше граничного значения система оказывается неустойчивой.

Рассчитаем установившуюся ошибку для заданных в ТЗ сигналов:

1. Единичное ступенчатое воздействие . Ошибку определим по формуле (1):

.

2. Сигнал с постоянной скоростью . По формуле (1):

 B.

3. Гармонический сигнал , где  (из п.2.3).

Ошибка системы определяется выражением вида:

,

где  – амплитуда;

  – сдвиг фаз.

,

 .

Тогда установившаяся ошибка системы:

.

2. ОТРАБОТКА ТИПОВЫХ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ

2.1 Единичный ступенчатый сигнал

2.1.1 Начальные и конечные значения переходных функций по передаточным функциям системы

ПФ ЗС по выходу системы:

.

ПФ ЗС по выходу ДОС:

.

ПФ ЗС по выходу УМ:

.

Начальное и конечное значение переходной функции , зная ПФ ЗС , можно рассчитать исходя из свойств преобразования Лапласа [3, §2.2]:

,

.

Рассчитанные начальные и конечные значения переходных функций ( и ) по всем выходам приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Конечное значение переходной функции по выходу системы определяется как отношение коэффициентов в прямой цепи системы (, , ) к коэффициенту усиления разомкнутой системы .

Конечное значение переходной функции по выходу ДОС от величин параметров системы не зависит.

Начальное значение переходной функции по выходу УМ зависит от коэффициентов  и , а также от всех постоянных времени системы.

2.1.2 Переходные функций системы, прямые ПК

Построим переходную характеристику системы (рис. 2.1) по выходу ОУ (по выходу системы). Выражение для построения:

Рис. 2.1. Переходная характеристика системы по выходу системы

Определим прямые ПК по выходу системы (см. п.1.2.3).

Перерегулирование:

,

где hmax= 0,101;

hуст= 0,0873;

h(0) = 0.

.

Границы интервала для установившегося значения [0,083;0,092].

Время регулирования: tр = 0,104 с.

Построим переходную характеристику системы (рис. 2.2) по выходу ДОС. Выражение для построения:

Рис. 2.2. Переходная характеристика системы по выходу ДОС

Определим прямые ПК (см. п.1.2.3).

Перерегулирование:

,

где hmax= 1,151;

hуст= 1;

h(0) = 0:

.

Границы интервала для установившегося значения [0,95;1,05].

Время регулирования: tр = 0,106 с.

Полученные прямые ПК по выходу системы и по выходу ДОС, а также оценки ПК, найденные в пп.1.4.3 и 1.4.4 занесем в таблицу (табл. 2.2).

Таблица 2.2

ПК найденные по выходу системы и по выходу ДОС различаются незначительно. Это объясняется тем, что в обратной связи имеется малая постоянная времени, практически не влияющая на динамические свойства системы.

Из таблицы также видно, что полученные ПК находятся в пределах нижней и верхней границ, найденных в пп.1.4.3 и 1.4.4.

2.1.3 Сравнение начальных и установившихся значений переходных функций

Определим начальное и установившееся значение переходной функций по выходу УМ:

 , .

Начальные и установившиеся значения переходных функций, рассчитанные в пп.2.1.1 и 2.1.2, совпадают. Эти значения приведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3

2.1.4 Определим величину Y0 ступенчатого сигнала, при котором система работает в зоне линейности УМ

Допустимая величина ступенчатого сигнала Y0, при котором система работает в зоне линейности УМ:

,

где  B – максимальное выходное напряжение УМ;

 – максимальное значение выходного сигнала УМ на единичное ступенчатое воздействие.

Тогда:

B.

2.2 Сигнал с постоянной скоростью

Воздействие в виде сигнала с постоянной скоростью имеет вид:

.

Выражение для построения ошибки системы при обработке такого сигнала имеет вид:

,

где  – ПФ ЗС (из п.1.4.4);

– изображение по Лапласу сигнала с постоянной скоростью.

Тогда:

.

Значение установившейся составляющей ошибки было вычислено в п.1.4.5:

 В.

График ошибки и ее установившейся составляющей изображен на рис. 2.3.

Рис. 2.3. График ошибки и ее установившейся составляющей при подаче сигнала с постоянной скоростью

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5