с-1.

При построении ЛЧХ системы с пропорциональным регулятором необходимо чтобы график ЛАЧХ проходил выше так называемой запретной области. Асимптотическая ЛАЧХ системы с полученным таким образом коэффициентом  будет обеспечивать данное условие. Необходимо проверить данное условие для расчетной ЛАЧХ.

Выражение для построения ЛАЧХ системы:

.

Воспользовавшись данными из табл. 1.2 запишем координаты запретной области и сравним их со значениями ЛАЧХ системы на тех же частотах (табл. 1.3).

Таблица 1.3

Из таблицы (см. табл. 1.3) видно, что на частоте  расчетная ЛАЧХ заходит в запретную область. Следовательно, ЛАЧХ необходимо поднять на 0,011 дБ. Таким образом, минимальный коэффициент усиления разомкнутой системы будет равен:

 с-1.

Коэффициент усиления пропорционального регулятора рассчитывается по формуле:

.

Структурная схема системы с пропорциональным регулятором с числовыми параметрами изображена на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Структурная схема системы с пропорциональным регулятором

1.2.2 Проверка устойчивости замкнутой системы

Проверим устойчивость системы по алгебраическому критерию Гурвица (см. п.1.1).

ХУ ЗС: ,

,

,

,

; ; ; ; .

Необходимое условие устойчивости выполняется, так как .

Проверим достаточное условие устойчивости. Для системы четвертого порядка достаточно проверить выполнение условия:

,

,

.

Условие выполняется, следовательно, система устойчива.

Проверим устойчивость системы по критерию Найквиста [1, §6.5, §6.6].

1. С использованием амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ):

Запишем ПФ РС:

.

Для того чтобы судить об устойчивости замкнутой системы, необходимо проверить устойчивость разомкнутой системы. Для этого запишем характеристическое уравнение разомкнутой системы (ХУ РЗ) и найдем корни уравнения:

,

; ; ; .

Так как один из корней равен нулю (), а все остальные корни с отрицательными вещественными частями (левые), то можно сделать вывод, что разомкнутая система находится на апериодической границе устойчивости.

Далее необходимо построить АФЧХ разомкнутой системы (годограф Найквиста). Запишем выражение для построения АФЧХ и выделим действительную и мнимую части:

Задаваясь различными значениями ω в пределах от нуля до бесконечности, построим годограф Найквиста (рис. 1.8) по характерным точкам (табл. 1.4):

Таблица 1.4

Рис. 1.8. Годограф Найквиста

Так как годограф Найквиста, дополненный на участке разрыва дугой бесконечно большого радиуса, не охватывает особую точку (−1;j0), то замкнутая система устойчива.

2. С использованием ЛЧХ:

Запишем выражения и построим ЛАЧХ и ЛФЧХ (рис. 1.9):

.

Рис. 1.9. ЛЧХ системы

Замкнутая система устойчива, если выполняется неравенство:

,

где – частота среза, при которой ;

– критическая частота, при которой .

Так как неравенство  выполняется, следовательно, замкнутая система устойчива.

Проверим устойчивость системы по критерию Михайлова [1, §6.3].

Запишем ХУ ЗС:

,

,

,

.

Подставим в этот полином чисто мнимое значение . При этом получим функцию Михайлова, как характеристический полином, состоящий из вещественной и мнимой части:

Задаваясь различными значениями ω в пределах от нуля до бесконечности, построим годограф Михайлова (рис. 1.10) по характерным точкам (табл. 1.5):

Таблица 1.5

Так как годограф системы, имеющей четвертый порядок, при изменении ω от 0 до ∞, начинается на вещественной положительной полуоси и при увеличении ω в положительном направлении последовательно проходит четыре квадранта, и при этом не обращается в 0, то можно сделать вывод, что замкнутая система устойчива.

  Рис. 1.10. Годограф Михайлова (справа увеличен вблизи начала координат)

1.2.3 Определение показателей качества

1. Частота среза разомкнутой системы.

Частота среза разомкнутой системы была определена в анализе системы по критерию Найквиста с использованием ЛЧХ (см. п.1.2.2):

.

2. Запасы устойчивости.

Запасы устойчивости по амплитуде и по фазе определяются по формулам:

, ,

где , , и  – ЛЧХ разомкнутой системы (см. п.1.2.2):

 дБ,  град.

3. Критический коэффициент усиления системы.

Коэффициент  определим по алгебраическому критерию Гурвица (см. п.1.1).

ХУЗС: ,

,

,

,

; ; ; ; .

Условие нахождения системы на границе устойчивости:

,

,

.

4. Прямые показатели качества.

Прямые показатели качества системы определяются по графику переходной характеристики замкнутой системы по выходу ДОС [1, §8.4]. Запишем выражение и построим график (рис. 1.11):

.

Рис. 1.11. Переходная характеристика замкнутой системы по выходу ДОС

Перерегулирование определяется по формуле:

,

где hmax= 1,793 – максимальное значение переходной характеристики;

hуст= 1 – установившееся значение переходной характеристики;

h(0) = 0 – начальное значение переходной характеристики.

.

Время регулирования определяется на уровне вхождения графика h(t) в интервал . Границы интервала [0,95;1,05] отмечены на рис. 1.11. Время регулирования определяем на уровне пересечения графиком h(t) нижней границы:

tр = 1,136 с.

5. Показатель колебательности.

Показатель колебательности определяется по АЧХ ЗС по выходу ДОС (рис. 1.12):

.

Рис. 1.12. АЧХ замкнутой системы с пропорциональным регулятором

Показатель колебательности (см. п.1.1):

.

6. Частота среза замкнутой системы.

Частота среза замкнутой системы определяется по графику АЧХ ЗС (см. рис. 1.12) на уровне :

 .

1.2.4 Анализ системы на соответствие ТЗ

Определим амплитудно-фазовые искажения системы с пропорциональным регулятором. Заданные и рассчитанные по формулам из п.1.1 значения приведены в табл. 1.6.

Таблица 1.6

Вывод: система с пропорциональным регулятором не соответствует требованиям ТЗ, так как показатель колебательности () превышает допустимое значение ().

1.3 Синтез регулятора

Синтез системы управления – это направленный расчет, имеющий конечной целью отыскание рациональной структуры системы и установления оптимальных величин параметров ее отдельных звеньев. Более узкая цель синтеза – это определение вида параметров корректирующего устройства (КУ), которое необходимо ввести в исходную систему, для обеспечения требуемого качества ее функционирования, то есть обеспечения совокупности требований ТЗ, утвержденного заказчиком.

Существует большое количество методов синтеза систем автоматического управления. Наиболее известными и хорошо разработанными являются методы синтеза системы в частотной области.

Рассмотрим метод логарифмических частотных характеристик, используемый для синтеза минимально-фазовых систем. Процесс синтеза включает в себя следующие операции:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5