Вектор плотности тока  в линиях с ТЕМ-волной имеет составляющую, направленную вдоль оси распространения (оси х). Поэтому, вместо дифференциальной векторной величины , можно перейти к интегральной скалярной величине – току I(t,x).

2.9 Телеграфные уравнения

Получим соотношение между напряжением U и током I в линии передачи с ТЕМ-волной, которые позволят анализировать распространение электромагнитной волны в линии, не решая уравнения Максвелла. С этой целью рассмотрим небольшой отрезок коаксиальной линии длинной (рис.2.8).

Полагаем, что потенциал в сечении А равен φ, а в сечении В φ2. Линию считаем не имеющей потерь, обладающей погонной индуктивностью L1 и погонной емкостью С1 (L1, C1-это соответственно индуктивность и емкость линии длиною 1м).

Воспользуемся интегральной записью II уравнения Максвелла

где магнитный поток представим в виде

(2.21)

L - индуктивность отрезка линии длиной

(2.22)

Контур интегрирования 1-2-3-4 изображён на рис.2.8. Итак, с учётом (2.21)

Поскольку скалярное произведение векторов =, где -угол между векторами , то

Учитывая связь напряженности электрического поля Е с потенциалом φ, запишем

В результате, принимая во внимание (2.22), получим

или, обозначив

φ2-φ1=

В пределе при  окончательно запишем

(2.23)

Переход от  к .

Воспользуемся определением силы тока

(2.24)

где q-заряд,

q=CU, C=C1.

Связь сила тока I с плотностью тока  определяется следующим соотношением

(2.25)

Выберем в качестве поверхности интегрирования цилиндрическую поверхность, охватывающую внутренний проводник коаксиальной линии (рис.2.9)

Тогда  (интеграл по боковой поверхности равен 0).

Из (2.21) получаем

Окончательно при переходе к пределу при z имеем

(2.26)

Уравнения (2.23) и (2.26) называют телеграфными. Их решение дает возможность найти ток I и напряжение U как функции времени и координаты Х.

2.10 Решение телеграфных уравнений.

Продифференцировав уравнения (2.23) по координате, а уравнение (2.26) по времени и исключив ток I, получим волновое уравнение для напряжения U:

(2.27)

Будем полагать для простоты, что к линии подводятся колебания одной частоты . Тогда решение выражения (2.27) может быть записано в виде монохроматических волн

(2.28)

где первое слагаемое представляет собой волну, бегущую по линии в положительном направлении оси Х, её называют падающей. Второе слагаемое описывает отражённую волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси Х.

В решении (2.28) - комплексные амплитуды падающей и отраженной волн, - постоянная распространения

-скорость волны в линии

Волновое уравнение может быть записано и для тока

его решение имеет вид

Как было отмечено в разделе 1.7, монохроматические волны удобно представлять в виде комплексных амплитуд

Связь между  и  можно получить, подставив в первое телеграфное уравнение (2.23) мгновенные значения напряжения и тока в линии.

В результате будем иметь

(2.29)

- волновое сопротивление линии.

Аналогично можно найти связь  с :

(2.30)

2.11 Режимы работы линий передачи

Допустим к входу линии передачи длиною  подключен источник гармонического напряжения частотой , амплитудой , а в конце линии имеется нагрузка сопротивлением zн (рис.2.9).

Режим бегущей волны

Если в линии отсутствует отраженная волна, то имеем режим бегущей волны

Как видим, в любом сечении z линии передачи имеются колебания напряжения U(t) с одинаковой амплитудой Uпад и колебания тока I(t) с не изменяющейся амплитудой Iпад

Мгновенная фаза колебаний

зависит от координаты.

Особенностью режима бегущей волны является постоянство сопротивления линии при любых х:

Получим выражение для средней по времени мощности колебаний в режиме бегущей волны:

(2.31)

Мгновенные значения напряжения и тока в линии

Подставив эти выражения в (2.31), получим

.

Режим стоячих волн.

Допустим, в линии имеется отраженная волна, амплитуда которой равна амплитуде падающей волны

В этом случае напряжение в линии

После некоторых преобразований получим

(2.32)

Как видим, в этом случае колебания напряжения в линии происходят синфазно, независимо от координаты х. Амплитуда колебаний изменяется вдоль линии по закону косинуса (рис.2.10)

где - длина волны в линии.

Можно получить аналогичные выражения для тока в линии

или

 (2.33)

Амплитуда колебаний тока также меняется в зависимости от х (рис.2.10).

Распределение амплитуд U и I о линии изображено на рис. 2.10

Нетрудно заметить, что имеются ечения в линии, где амплитуда колебаний максимальна, она в 2 раз больше амплитуды источника. Эти сечения называются пучностями. В других сечениях колебания отсутствуют, это - узлы. Пучности (а также узлы) отстают друг от друга на расстояние , равное , где -длина волны в линии.

Получим выражение для средней мощности колебаний в линии. С этой целью подставим в (2.31) выражения (2.32) и (2.33), в результате имеем Рср=0. Итак, в режиме стоячих волн энергия вдоль линии не передается. Таким образом, режим стоячих волн для передачи радиоволн не пригоден. Этот режим применяют в резонаторах. Режим смешанных волн.

На практике в линии всегда присутствует отраженная волна, причем амплитуда отраженной волны Uотр меньше амплитуды падающей Uпад. Допустим, что Uотр = , т.е. фаза напряжения отраженной волны φотр=0. Комплексная амплитуда напряжения в линии

.

Распределение амплитуды напряжений вдоль линии показано на рис.2.11.

В некоторых сечениях линии (пучностях) имеется усиливающая интерференция, падающая и отраженные волны складываются в фазе и амплитуда колебаний напряжения максимальна . В других сечениях (узлах) - гасящая интерференция, волны складываются в противофазе. Здесь амплитуда напряжений минимальна .

2.12 Коэффициент стоячей волны напряжения

Коэффициент отражения.

Для характеристики режима работы линии используют коэффициент стоячей волны напряжения , который определяется так

(2.34)

Поскольку

, , то

(2.35)

Коэффициент отражения.

Другим коэффициентом, применяемым для оценки режима работы линии, является коэффициент отражения напряжения от нагрузки :

Так как при

x=

(2.36)

где

- модуль коэффициента отражения;

- фаза коэффициента отражения.

Связь kсв c Г.

Из (2.35) и (2.36) следует, что

.(2.37)

Отсюда

Из (2.36) следует, что модуль коэффициента отражения может находиться в пределах

0<Г<1,

а согласно (2.37), пределы изменения коэффициента стоячей волны

2.13 Передача энергии в нагрузку

В режиме смешанных волн мощность электромагнитных колебаний, поступающая в нагрузку

где - мощность колебаний, создаваемых падающей волной; - мощность колебаний отраженной волны, причем

где - проводимость нагрузки.

Отсюда

,

или

(2.38)

Таким образом, мощность электромагнитных колебаний, передаваемых по линии от источника к нагрузке, в значительной мере зависит от модуля коэффициента отражения Г.

Максимальная мощность, передаваемая в нагрузку.

В любой линии передачи существует максимально допустимая амплитуда колебаний . Допустим, что в предельном случае выполняется условие  где

максимальная амплитуда колебаний в линии, т.е амплитуда в пучностях.

В этом случае

и мощность колебаний падающей волны

Подставив это выражение в (2.38), получим с учетом (2.37)

(2.39)

Из (2.39) следует, что при заданной амплитуде  для максимальной передачи мощности в нагрузку следует уменьшать , т.е. стремится к установлению режима бегущих волн.

2.17 Условия существования режима бегущих волн

Как было отмечено в разделе 2.13, для наиболее эффективной передачи энергии электромагнитных колебаний по линии от источника к нагрузке следует устанавливать режим бегущих волн. Получим условие его существования.

В конце линии при  сопротивление нагрузки

где

Учитывая (2.27) и (2.28), запишем

или, поделив числитель и знаменатель на  и принимая во внимание выражение (2.36), получим

отсюда

(2.40)

В режиме бегущих волн коэффициент отражения напряжения . Таким образом, получаем следующие условия для существования режима бегущих волн: (2.41) или где - волновое сопротивление линии,

Для того, чтобы в линии передачи существовал режим бегущих волн, требуется, чтобы нагрузка была чисто активная и сопротивление нагрузки равнялось волновому сопротивлению линии.

Волновое сопротивление зависит от погонных параметров линии , которые определяются размерами линии и её заполнением. В большинстве радиотехнических устройств применяются коаксиальные и микрополосковые линии со стандартным волновым сопротивлением Ом или Ом. Такие значения сначала были выбраны для коаксиальных линий из условия минимума потерь в линии и максимума передаваемой мощности (см. Приложение 6). Поскольку в микроэлектронных радиосистемах коаксиальные линии сопрягаются с микрополосковыми, такой же стандарт был выбран и для микрополосковых линий.

В заключение отметим, при таком условии амплитуды колебаний напряжения и тока не зависят от того, в каком сечении в линии они определены. Изменения амплитуд объясняется сложением колебаний, распространяющихся вдоль оси Х и обратно, мгновенная фаза которых зависит от координаты. Из-за этой зависимости возникают пучности, где разница фаз падающей и отраженной волн равна 0 и узлы, где разность фаз составляет  радиан. Для того, чтобы устранить эту зависимость, нужно выполнить условие или

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7