получим выражения для комплексной амплитуды бегущей волны
(1.13)
1.8 Радиоволны в диэлектрике с потерями энергии
Для монохроматических волн удобно записать уравнения Максвелла в комплексном виде:
где - комплексные амплитуды соответствующих физических величин.
Комплексная диэлектрическая проницаемость среды.
Учитывая (1.1), запишем для комплексных амплитуд
и первое уравнение Максвелла можно представить в виде
Величину
(1.14)
называют комплексной диэлектрической проницаемостью среды. Мнимая её часть указывает на свойство среды проводить электрический ток. Величину можно представить в виде вектора на комплексной плоскости (рис.1.4)
Тангенс угла наклона вектора к горизонтальной оси tgδ называют тангенсом угла диэлектрических потерь, который определяется формулой
(1.15)
Для высококачественных диэлектриков tgδ→0
Диэлектрики и проводники
Как следует из (1.14) и (1.15), соотношение между мнимой и действительной частями , т.е. tgδ зависит от частоты колебаний. Поскольку плотность тока в среде равна сумме плотности тока проводимости и смещения,
то величина tgδ рана отношению плотности тока проводимости к плотности тока смещения. Таким образом, в одной и той же среде на разных частотах могут преобладать либо только токи проводимости, либо токи смещения, т.е. среда на одних частотах может быть проводником, а на других – диэлектриком.
Если колебания E(t) и H(t) происходят с частотой
,
то
и ωгр- граничная частота. При частотах, удовлетворяющих условию
ω<< ωгр
среда является проводником, а при
ω>> ωгр
- диэлектриком.
Комплексная амплитуда напряжённости поля в среде с потерями энергии
Постоянная распространения β в идеальном диэлектрике определяется выражением (1.8), которое с учётом (1.3) принимает вид
В среде с потерями постоянная распространения становится комплексным числом.
Комплексную постоянную распространения запишем в виде (см. приложение 4)
где для диэлектрика с малыми потерями
.(1.16)
Подставив в (1.13) , вместо β, получим
(1.17)
что эквивалентно записи для мгновенных значений
Как видим, по мере распространения волны амплитуда колебаний уменьшается по закону
.
По этой причине α называют коэффициентом затухания среды. Аналогично изменяется и напряжённость магнитного поля
Средняя во времени мощность электромагнитного поля, проходящая через поверхность единичной площади, определяется усреднённым за период колебаний
вектором Пойнтинга.
Подставив сюда E(t,z) и H(t,z), получим
Итак, в среде с потерями плотность мощности плоской электромагнитной волны уменьшается по мере удаления волны от источника со скоростью
, дБ/м
1.9 Радиоволны в проводниках. Скин-эффект
В радиосистеме радиоволны распространяются либо в свободном пространстве, либо в линиях передачи - направляющих системах. Линия передачи представляет собой совокупность проводников и диэлектрика. Волна распространяется в диэлектрике и попадает на границу раздела диэлектрик-проводник.
В результате возникает волна, отражённая и преломлённая, уходящая вглубь проводника. Можно показать, что в проводниках угол преломления β≈0, независимо от угла падения, т.е. преломленная волна уходит в проводник почти по нормали к границе раздела сред (рис. 1.5)
На рисунке 1.5: -вектор Пойнтинга падающей волны, - отражённой волны, - преломлённой волны.
На рисунке 1.6 показана часть проводника и направления координатных осей.
Составляющая напряжённости электрического поля E, касательная к границе раздела сред, имеет на границе амплитуду колебания E. В соответствии с (1.17), комплексная амплитуда зависит от координаты y следующим образом:
(1.18)
Коэффициент затухания в проводнике (см. приложение 4)
(1.19)
В проводнике α значительно выше, чем в диэлектрике, поэтому амплитуда колебаний Е быстро уменьшается по мере проникновения поля в глубину проводника. То же действительно и для напряжённости магнитного поля Н. В результате, в проводнике электромагнитное поле расположено в достаточно тонком поверхностном слое.
Глубину проникновения поля в проводнике оценивают глубиной скин-слоя h, т.е. величиной y = h, при которой амплитуда колебаний поля уменьшается в е раз, по сравнению со значением на поверхности. Из (1.18) следует, что глубина скин-слоя
(1.20)
или, с учётом (1.19)
(1.21)
где f-частота колебаний поля,
магнитная проницаемость, g-электропроводность проводника.
Сопротивление проводника переменному ноку.
В результате того, что напряжённость электрического поля сосредоточена вблизи поверхности проводника, переменный электрический ток протекает в относительно узком приповерхностном слое, что следует из закона Ома: . В результате, сопротивление переменному току оказывается выше, чем постоянному.
Получим выражение для сопротивления отрезка проводника длинной l, шириной d и бесконечной глубиной (координата y меняется от 0 до ∞). В соответствии с (1.18), плотность тока
Комплексная амплитуда тока, проходящего через поперечное сечение проводника шириной α и бесконечной глубиной
или
Комплексная амплитуда напряжения на проводнике длиной
Отсюда сопротивление проводника
Как видим, сопротивление Z имеет действительную часть
и мнимую часть индуктивного характера
Учитывая (1.20), получим, что активное сопротивление проводника переменному току
(1.22)
равно сопротивлению проводника постоянному току, если высота проводника h=hск.
Как следует из (1.22), при изготовлении проводников для переменного тока толщину металлизации нецелесообразно устанавливать существенно больше hск. На практике толщину металлизации выбирают с запасом в пределах h=(2...3)hск
2. Радиоволны в линиях передачи
Для передачи энергии электромагнитного поля от передатчика к передающей антенне, от приемной антенны к приемнику, от каскада к каскаду в радиосистеме применяют линии передачи. Иначе их называют фидерные линии от английского слова feed– питать. Например, фидерная линия, ведущая от генератора электромагнитных колебаний к антенне – это линия, питающая антенну электромагнитной энергией.
2.1 Типы передающих линий
В современных радиосистемах используют, в основном, четыре типа передающих линий – двухпроводную, коаксиальную, микрополосковую и волноводную – рис.2.1.
Простейшей линией является двухпроводная – это два параллельных металлических проводника. Если один провод расположен внутри другого, получается коаксиальная линия, или коаксиальный кабель. В каскадах СВЧ применяют микрополосковую линию (МПЛ), а также волноводы – трубы прямоугольного и круглого сечения. МПЛ – это два параллельных проводника - узкий и широкий, разделенных диэлектрической подложкой.
В линиях передачи электромагнитное поле существует в пространстве около проводников, а сами проводники подобны рельсам, задающим направление движения энергии поля.
Пространство между проводниками и линией может быть ничем не заполненным. В этом случае линии являются воздушными. Если между проводниками имеется диэлектрик, то это линия с диэлектрическим заземлением.
Для того, чтобы определить структуру электромагнитного поля в линии передачи, рассмотрим модель, справедливую для всех типов линий – это две параллельные бесконечные плоскости – рис.2.2
1) плоскости идеально проводящие, т.е. удельная электропроводность материала плоскости ;
2) диэлектрик между плоскостями идеальный, т.е. его удельная электропроводность ;
ищем решение в виде волн, распространяющихся вдоль оси z;
вдоль оси y плоскости бесконечны и электромагнитное поле вдоль этой оси не меняется;
линия возбуждается источником монохроматического поля.
При сделанных допущениях 1-е и 2-е уравнения Максвелла для комплексных амплитуд имеют следующий вид:
Раскрывая их и учитывая, что производные составляющих поля по оси y равны 0, получим 2 системы уравнений – первая относительно переменных ,,
; (2.1)
вторая - относительно переменных , ,
(2.2)
Система уравнений (2.1) описывает поля, у которых вектор напряженности магнитного поля перпендикулярен направлению распространения z, в то время, как вектор имеет проекцию на ось z. Такие поля называют поперечно магнитными, или поля TM – типа (Transverse Magnetic Waves). Иначе их называют полями E – типа.
Система (2.2) относится к поперечно – электрическим полям (Transverse Electrical Waves), т.е. полям ТЕ – типа (или полям H), поскольку здесь вектор напряженности электрического поля перпендикулярен направлению распространения z - рис. 2.3. Рассмотрим структуру полей различных типов более подробно.
2.2 Поперечно- магнитные волны
Из системы (2.1) исключим и и составим одно уравнение относительно
(2.3)
Получим уравнение эллиптического типа, для однозначного решения которого требуется задание граничных параметров [2].
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
