З точки зору незмінності закону руху системи, дисипативні елементи еквівалентні, якщо вони в будь-який момент часу розсіюють однакову енергію.
Розсіювання механічної енергії в пружному елементі пов’язане з його нелінійністю (рис. 2.5). Графіки F(x) при прямій і зворотній деформації відрізняються між собою. Введемо такі позначення:
↑ A – робота сили при прямій деформації.
Їй відповідає горизонтально заштрихована площа;
↓ А – робота сили при зворотній деформації.
Їй відповідає вертикально заштрихована площа;
↑↓А – розсіяна енергія, А↑↓= А↑–А↓.
Рис. 2.5. Характеристика F(x) нелінійного елемента
Коефіцієнт дисипації ψ вводиться як відношення
ψ = А↑↓ / А↑, (2.6)
де ψ – безрозмірний коефіцієнт, який визначає відносну частину розсіяної енергії від енергії, що накопичує пружний елемент.
Енергія, яку розсіює механічна система в пружних елементах дорівнює сумі енергій, що розсіює кожний дисипативний елемент. Умова незмінності розсіяної енергії при переході до одного приведеного елемента дисипації відображається рівнянням:
.
Приведений коефіцієнт дисипації
. (2.7)
При паралельному з’єднанні елементів дисипації формула (2.7) має вигляд:
. (2.8)
При послідовному з’єднанні формула (2.7) має вигляд:
. (2.9)
2.2 Вільні коливання одномасової системи
Розглянемо одномасову модель механічної системи (рис. 2.6).
Рис. 2.6. Одномасова система
В стані рівноваги пружина розтягнута. Пружна сила врівноважує силу тяжіння mg. Стан рівноваги вибирається як початкове положення. Якщо систему вивести із стану рівноваги, вона здійснює коливання відносно початкового положення. Згідно закону Ньютона:
, (2.10)
де пружна сила cq та сила тертя направлені відповідно проти переміщення q та проти напрямку руху, тобто проти швидкості
Рівняння (2.10) запишемо в канонічному вигляді:
, (2.11)
де – кутова частота власних коливань; n = b/2m, де b – кінематичний коефіцієнт тертя.
Рівняння (2.11) – лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Воно описує вільні коливання. В реальних механічних системах значення коефіцієнта тертя b практично не впливає на частоту вільних коливань. Тому розв’язок рівняння (2.11) має вигляд:
q = e–nt (С1·sin kt + С2·cos kt) = e–ntA·cos(kt - j), (2.12)
де ; sin j = С1/A; cos j = С2/A.
Сталі інтегрування С1 і С2 визначаються з початкових умов коливного процесу і qo = q(0):
С2 = qo; С1 = (+ nqo)/ k. (2.13)
Завдяки множнику е–nt навіть при малому значенні n система з часом припиняє свої вільні коливання:
при t®¥ значення е–nt =1/ent ® 0 (рис. 2.7).
Рис. 2.7. Затухаючі вільні коливання
Вільні коливання відіграють дуже важливу роль у визначенні приведених параметрів механічної системи експериментальним способом.
Алгоритм експерименту:
1. Будується статична характеристика F = F(q) (рис.2.8) і визначається коефіцієнт жорсткості с = F / q.
Рис. 2.8. Статична характеристика F(q)
2. Збуджуються вільні коливання. Експериментально визначають Т або f й знаходять кругову частоту власних коливань:
k = 2π / T = 2πf.
3. Знаходять приведену масу:
4. Збуджують власні коливання і спостерігають їх затухання, вимірюють амплітуду А1 і Аs та визначають:
,
де S – число коливань, що спостерігається (звичайно S = 10, 100, 1000, ...)
5. Визначають приведений коефіцієнт затухання:
n = 2λ / T.
2.3 Вимушені коливання при гармонічному збудженні
Розглянемо одномасову модель механічної системи, яка здійснює вимушені коливання під дією гармонічної сили (рис. 2.9):
F(t) = F0 cos ωt.
При F=0 та q=0 система має стан стійкої рівноваги.
Згідно закону Ньютона складаємо баланс сил:
В канонічній формі рівняння набуває вигляду
, (2.14)
де 2n=b/n, k2 =c/m, .
Рис. 2.9. Вимушені коливання
Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Його загальний розв’язок qЗ.Н. шукають у вигляді:
qЗ.Н. = qЗ.О. + qЧ.Н., (2.15)
де qЗ.О. – загальний розв’язок однорідного рівняння (при f0=0);
qЧ.Н. – частковий розв’язок неоднорідного рівняння.
Оскільки при t®¥ вільні коливання затухають, то достатньо визначити частковий розв’язок qЧ.Н.(t). Його шукаємо у вигляді гармоніки, бо гармонічною є права частина рівняння (2.14).
qЧ.Н. = Acos(ωt-j) = С1sin ωt+С2cos ωt. (2.16)
Сталі інтегрування відповідають усталеному режиму вимушених коливань, які визначають за таким алгоритмом. Диференціюємо рівняння (2.16) один, а потім ще один раз і одержимо відповідно та , які підставляємо в рівняння (2.14). З умови тотожної рівності лівої і правої частини, прирівнюючи коефіцієнти при cos ωt та sin ωt, одержимо два алгебраїчні рівняння з двома невідомими А і tg φ. Остаточно одержимо:
, . (2.17)
2.4 Коефіцієнт динамічності
Рівняння (2.17) на практиці застосовують в іншому вигляді.
Введемо поняття коефіцієнта динамічності:
, (2.18)
де Ао – деформація пружного елементу від дії сталої сили Fo. Коефіцієнт динамічності – безрозмірна величина.
Із сказаного раніше випливає, що
. (2.19)
Введемо також такі безрозмірні коефіцієнти:
, (2.20)
. (2.21)
Тоді підставляючи (2.17) та (2.19) в рівняння (2.18) та враховуючи (2.20) і (2.21), одержимо
. (2.22)
В останній формулі всі величини безрозмірні.
Типовий графік функції (2.22) зображено на рис.2.10.
Рис. 2.10. Графік функції
Допустиме значення коефіцієнта динамічності визначає резонансну зону , дорезонансну зону та зарезонансну зону .
При коефіцієнт динамічності . Тобто при зростанні Z в зарезонансній зоні система взагалі не реагує на збудження.
Вплив параметра δ проявляється лише в резонансній зоні. Максимальне значення функція приймає при деякому значення Z*.
. (2.23)
2.5 Зменшення вимушених коливань
Зменшення рівня вимушених коливань зводиться до зменшення значень коефіцієнта динамічності. Це може здійснюватись за рахунок зміни параметрів с, m та b. Характер зміни параметрів залежить від того, в якій зоні працює система: дорезонансній, резонансній, зарезонансній.
Резонанс. Зменшувати коливання в резонансному режимі можна тільки за рахунок збільшення параметра δ = n/k та далі за схемою
Отже, щоб зменшити коливання в резонансному режимі треба збільшувати коефіцієнт кінематичного тертя b, зменшувати приведену масу або приведений коефіцієнт жорсткості.
Дорезонансний режим. Зменшення коефіцієнта динамічності αd відповідає схемі:
В дорезонансному режимі треба збільшувати коефіцієнт жорсткості С або зменшувати приведену масу m. Потрібного результату можна досягти, зменшуючи кругову частоту ω вимушених коливань. Проте досить часто це пов’язано із зменшенням робочих швидкостей.
Зарезонансний режим. Має місце наступна схема:
m↑
c↓
Отже зміна параметрів ω, с та m в за резонансній зоні прямо протилежна їх зміні в дорезонансній зоні. В зарезонансній зоні працювати вигідніше, бо значення αd менше і робочі швидкості вищі, ніж в дорезонансній зоні. Проте потрібно переходити через резонанс. На щастя, резонанс розвивається не миттєво. Звідси рекомендація: здійснювати форсований перехід через резонансну зону. При розгоні це роблять в холостому (ненавантаженому) режимі, а при зупинці використовують гасій (демпфер).
2.6 Вимушені коливання при періодичному збудженні
Розглянемо більш загальний випадок збудження вимушених коливань, коли на систему діє періодична збуджуюча сила: F(t)=F(t+T), . Як правило періодичну функцію збудження можна представити у вигляді ряду Фур’є
. (2.24)
В силу лінійності рівняння (2.24) загальний розв’язок його теж можна представити у вигляді суми гармонік типу (2.16). При цьому амплітуда вимушених коливань кожної гармоніки визначається формулою
, (2.24)
Де
. (2.26)
Резонансною є гармоніка, для якої jz = ≈ 1. Отже, резонансною є гармоніка з номером
. (2.27)
Максимальна амплітуда сумарних вимушених коливань від функції F(t) оцінюється нерівністю
де . Тобто ряд скорочується до резонансної гармоніки і додається ще одна або дві гармоніки, які можуть впливати на результат.
2.7 Коливання елементів РЕА типу балок
Типовими прикладами таких елементів є резистори, конденсатори тощо. Розглянемо коливання резистора в поперечному напрямку, що супроводжуються деформаціями на згин (рис. 2.11). Є два варіанти динамічної моделі. Масу резистора можна привести в точку (рис. 2.11, а) або розподілити по всій довжині L (рис. 2.11, б). Розподілена маса . Власна частота коливань системи з зосередженою масою
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
