При идентификации методом планирования эксперимента принимается следующая последовательность операций:

- все члены уравнения модели, содержащие переменные xi их квадраты и произведения записывают в виде линейных уравнений ai xi и нумеруют последовательно при составлении полинома

или в общем виде

где n - число членов уравнения регрессии; j = 1/N - номер эксперимента;

для определения коэффициентов уравнения ai в соответсвии с методом минимума суммы квадратов отклонений записывают функционал:

где N - число экспериментов (опытов), берут частные производные этого функционала по коэффициентам и, приравнивая их нулю, получают систему уравнений dF / dai = 0, из которой определяют аi.

Более просто получить результат, если считать, что минимум отклонений имеет место при совпадении результатов расчетной модели и эксперимента в точках проведения опытов, т.е. полагать

В этом случае коэффициенты должны удовлетворять системе линейных уравнений вида (3.23). В матричной форме эта система имеет вид

Y=XA,                                                                                                (3.24)

где Y — матрица-столбец экспериментальных значений у с числом элементов N9 равных числу опытов;

А — матрица-столбец коэффициентов вм с числом элементов, равным числу членов полинома л;

X - матрица входных воздействий xt размером N * п.

Чтобы матрицу X сделать квадратной и далее диагональной, умножим обе части (3.24) на транспонированную матрицу Хt. Обозначим Хt Х = С и получим

откуда

Если выбрать определенную последовательность изменения входов xi, то квадратная матрица С и обратная ей матрица С-1 будут диагональными. Тогда система (3.25) разбивается на п независимых уравнений, каждое из которых будет включать лишь один неизвестный коэффициент

где N — номер опыта.

Диагональность матрицы С-1 определяется таким варьированием хi которое подчиняется условиям:

- симметричности - сумма xi одного столбца должна быть равна нулю;

- нормированности – сумма x2i одного столбца должна быть равна числу опытов с разными сочетаниями xi;

- ортогональности - сумма xi – 1 xi должна быть равна нулю.

Удовлетворяя этим условиям, составляем таблицу планирования эксперимента (табл. 3.4) для двух факторов согласно (3.22) так, чтобы получить четыре разные комбинации значений переменных хх и х2.

Из таблицы видно, что число комбинаций значений переменных равно M = 22 = 4, причем сумма хi в колонках 1, 2 равна нулю; сумма хi в колонках 4, 5 равна 4; сумма в колонке 3 равна нулю.

Таблица 3.4

Колонки 4 и 5 имеют значения, аналогичные колонке 0, т.е. не дают дополнительной информации, поэтому следует ограничиться четырьмя колонками лго> xl9 x2 и ххх2 (участок табл. 3.4, очерченный двойными линиями). Получим модель вида путем приравнивания нулю частных производных по ai получаем систему уравнений

Минимизируя функционал

Если эксперимент спланирован с выполнением условий симметричности, нормированности и ортогональности, то рассмотренные выражения окажутся проще, так как

С учетом этого выражения для расчета коэффициентов получим в соответствии с (3.26) моделей объектов.

Эксперимент, при котором перебираются все возможные сочетания xi, называют полнофакторным или ПФЭ2n. Он дает возможность определить только коэффициент при входных воздействиях первого порядка и их сочетаниях. Такой ПФЭ называют планом первого порядка.

Кроме ПФЭ2n применяется дробный факторный эксперимент (ДФЭ), который позволяет уменьшить объем эксперимента. По числу коэффициентов выполняются эксперименты для реализации (3.23). Так, если требуется определить четыре коэффициента - а0, alt a2, а-х, то достаточно провести четыре эксперимента, удовлетворяющих требованиям ПФЭ. Это соответствует двухфакторному эксперименту, где колонка x1 х2 заменена колонкой х3. Для модели типа

вместо N = 23 =8 достаточно провести четыре опыта. В таблице планирования эксперимента (табл. 3.4) колонка 0 заполняется плюсами, 1 — чередованием плюса и минуса через одну строку, 2 — через две строки, а 3 формируется путем умножения построчно колонок 1 и 2. Модель в абсолютных единицах после определения коэффициентов записывается в виде

Динамическая идентификация

Многие технологические объекты управления, функционирование которых в динамике еще недостаточно изучено, не могут быть описаны аналитически. Для получения их динамических моделей также применяются экспериментальные методы. Целью последних является нахождение аналитических выражений, описывающих динамику объекта управления с требуемой степенью точности. В отличие от статических моделей динамические связывают выходную величину с входным воздействием в процессе их изменения во времени.

В практике предшествующих дисциплин для записи динамических моделей линейных систем использовался аппарат дифференциальных уравнений. Как правило, технологические объекты управления являются системами, элементы которых имеют нелинейные характеристики и описываются уравнениями высоких порядков. В передаточных устройствах электропривода имеются люфты, возможно наличие сухого трения, приходится учитывать упругости их элементов и т.д.

Применение методов математического моделирования избавляет исследователя от решения дифференциальных уравнений, но при этом необходимо иметь аналитические модели всех звеньев.

Экспериментальные методы позволяют получить формальную модель практически любого объекта по результатам обработки экспериментальных данных. Существуют активные и пассивные эксперименты.

Активный эксперимент основан на задании объекту специально сформированных управляющих или возмущающих воздействий. По реакции объекта на эти воздействия устанавливаются и оцениваются его динамические свойства. Обычно изучается реакция на скачкообразные, гармонические или импульсные воздействия. Полученные переходные или частотные характеристики позволяют определить, например, для линейной системы передаточные коэффициенты, постоянные времени отдельных звеньев и динамические свойства объекта в целом.

Не для всех систем может быть поставлен активный эксперимент. Иногда он может быть неприемлем из-за дороговизны специального дополнительного оборудования, высокой стоимости его монтажа, нередко его реализация невозможна по условиям техники безопасности. В этих случаях применяется пассивный эксперимент. Сущность его заключается в фиксации значений входных и выходных переменных в нормальных эксплуатационных динамических режимах.

Одним из сравнительно несложных современных методов динамической идентификации, основанных на результатах пассивного эксперимента, является метод Калмана. Сущность его заключается в следующем:

- в процессе эксплуатации через строго фиксированные интервалы времени записывают значения входных и выходных параметров;

- выбирают наиболее простой вид аналитической модели, записан ной в виде разностного уравнения того или иного порядка;

- по результатам эксперимента и принятого типа модели методом минимума суммы квадратов отклонений определяют коэффициенты разностного уравнения;

- решают разностное уравнение и сравнивают полученные динамические характеристики с экспериментом;

- при больших отклонениях задаются разностным уравнением более высокого порядка и повторяют расчет.

Сопоставление изложенной выше методики динамической идентификации с порядком выполнения статической идентификации свидетельствует об их аналогии. Отличие состоит лишь в моделях: модель в ста тике описывается алгебраическим уравнением, динамическая модель — разностным.

Для дифференциального линейного уравнения k - го порядка аналогом будет разностное уравнение вида

где п — номер точки эксперимента; А, В — коэффициенты разностного уравнения. Оно может быть принято в качестве исходной модели при динамической идентификации.

Поскольку порядок идентифицируемого объекта обычно неизвестен, следует начинать с наиболее простой модели, а именно — разностного уравнения первого порядка вида

Если модель окажется недостаточно адекватной, следует взять в качестве модели разностное уравнение второго порядка

yn = A0yn –1 + A0yn –2 + B0xn –1 + B0xn –2

Далее, используя методику минимизации суммы квадратов отклонений, т.е. функционала вида

Получаем систему уравнений из которых можно А0 А1, В0, В1

Экспериментальные модели недетерминированных объектов

Выше рассматривались простейшие случаи получения экспериментальным путем гладких, устойчиво, без разбросов повторяющихся аналитических моделей. Пригодность такой модели оценивалась по допустимому максимальному отклонению от эксперимента. На практике на эксперимент оказывает влияние действие многих малозначащих факто ров в различных непрогнозируемых сочетаниях. Поэтому при повторении опытов с одними и теми же значениями входов получают неповторяющиеся значения выходов. Разброс выходных величин, его причины и характер могут быть различными. Они могут вызываться систематическими погрешностями, являющимися функцией времени (изменение сопротивления резистора при изменении температуры, дрейф нуля усилителя и т.п.). Разброс может быть вызван пороговым действием какого-либо неучтенного фактора и при эксперименте давать повторяющуюся зависимость, имеющую характер ломаной линии. Весьма часто на разброс влияют отклонения случайного характера.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5