При параллельном - матрицей
при антипараллельном – матрицей
где Е — единичная матрица.
Схожи и правила переноса точек ответвления и суммирования.
Самостоятельной проблемой многомерных звеньев и систем является выбор исходной модели, определяющей в дальнейшем число входов и выходов. По существу до выполнения анализа модели неизвестна значимость отдельных выходов для функционирования системы при решении поставленной перед ней задачи. До анализа модели трудно также оценить, все ли входы (исполнительные элементы технологического агрегата) существенно влияют на выбранные выходы (технологические параметры).
В этом плане выделяют полностью управляемые системы, когда все выходы зависят от всех входов, и полностью наблюдаемые, когда нет переменных состояния, не связанных с выходами.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
Постановка задачи
Если для получения модели аналитические методы идентификации неприемлемы в связи с недостаточным знанием алгоритмов функционирования технологических объектов управления либо по причине сложности и экономической нецелесообразности разработки моделей на их основе, то применяются экспериментальные методы получения моделей технологических объектов управления. Модели, полученные на основе эксперимента, не столь универсальны, как аналитические, но более просты по своей структуре и позволяют применять однотипный математический аппарат.
Экспериментальные методы идентификации базируются на пассив ном либо активном эксперименте. В первом случае исследуются режимы естественной эксплуатации технологических объектов управления, во втором задаются такие, которые наилучшим образом выявляют его свойства. Во время эксперимента измеряются значения интересующих нас технологических параметров (управляемых выходных переменных) и факторов, на них влияющих (управляющих входных переменных и возмущений). Эти данные позволяют выбрать математическое выражение и определить входящие в него коэффициенты, исходя из обеспечения адекватности модели объекту. Полученная таким об разом модель должна с заданной степенью точности соответствовать реальному объекту, т.е. расчетные и экспериментальные значения выходных переменных при заданных управляющих воздействиях и возмущениях должны совпадать в динамических и статических режимах.
Проведение эксперимента и последующая обработка его результатов для создания модели усложняются в связи с тем, что технологические объекты управления, как правило, многомерные и недетерминированные. Поэтому при проведении серии повторяющихся экспериментов при подаче одинаковых входных переменных на выходе можно получать различные значения одной и той же технологической переменной. Такое различие объясняется действием случайных сочетаний неучтенных факторов. Если разбросы незначительные, то задача сводится к оценке степени приближения модели к результатам эксперимента. При значительных отклонениях под сомнение ставится правильность выбора типа модели. В ряде случаев возникает даже необходимость сначала установить сам факт наличия закономерности между входными и выходными величинами. В этом случае решающее значение приобретает задача определения объема эксперимента. Под объемом эксперимента понимают количество учитываемых факторов, частоту повторения однотипных экспериментов и их количество. Чем больше число повторений опыта, тем достовернее модель, т.е. тем больше вероятность нахождения истинного значения переменной в более узком интервале эксперимента.
Исходя из изложенного, можно установить следующие основные этапы получения модели технологического объекта управления по экспериментальным данным:
- планирование объема эксперимента: количества контролируемых параметров, числа измерений и кратности их повторения;
- выбор типа математической модели (уравнения регрессии);
- выполнение эксперимента и обработка данных;
- определение количественных характеристик (коэффициентов) принятого типа модели;
- проверка значимости полученных коэффициентов по влиянию на них разброса результатов экспериментов;
- проверка адекватности модели объекту.
Если две последние проверки дают отрицательный результат, то проводится уточнение объема эксперимента, эксперимент повторяется, уточняется модель объекта.
Идентификация одномерных детерминированных объектов
Задача состоит в представлении в аналитическом виде существующей связи между входом и выходом одномерного объекта. Полагаем, что при эксперименте случайные помехи отсутствуют и в экспериментально снятых значениях нет разброса. Для таких объектов модель наиболее часто описывается полиномом вид:
Степень полинома ориентировочно можно определить по разностям экспериментально снятых ординат функции при постоянных приращениях аргумента. Она принимается равной такому порядку разностей, при котором они становятся примерно постоянными во всем диапазоне изменения входной величины. Например, при неизменных разностях между ординатами модель описывается полиномом первой степени, при неизменных разностях между разностями второго порядка — полиномом второй степени и t.д.
Оптимальной может считаться модель, у которой при определенных расчетом коэффициентах сумма квадратов отклонений расчетных ур и экспериментальных уэ значений будет минимальной, т.е. минимизируется функционал
где п — число опытов.
Для определения коэффициентов модели составляют систему уравнений типа
Совместное решение полученных уравнений относительно ai дает такие их значения, при которых удовлетворяется условие (3.15).
Для упрощения (3.16) целесообразно начало отсчета абсциссы xi помещать в середину интервала экспериментально снятых значений и пользоваться симметричными значениями xi (одинаковыми, но раз личными по знакам). В этом случае все суммы нечетных степеней х будут обращаться в нуль, что существенно упростит систему уравнений.
Например, если в качестве модели выбран полином второй степени
то функционал (3.15) имеет вид
Коэффициенты являются неизвестными переменными. В соответствии с (3.16) составляем систему уравнений:
Приравнивая суммы нечетных степеней xi к нулю, получаем
Решение относительно коэффициентов:
Рассчитав коэффициенты и подставив их в (3.16), получим уравнение регрессии.
Идентификация многомерных объектов
Получение модели многомерных объектов по результатам эксперимента осложняется прежде всего тем, что на исследуемый параметр влияет много факторов, которые сложно разделить на существенные и несущественные, поэтому трудно определить число входов объекта, подлежащих учету.
В отличие от одномерных объектов затруднена геометрическая интерпретация модели. Так, для двух входных параметров, влияющих на третий выходной, приходится обращаться к двухмерной области. Увеличение входов требует рассмотрения многомерной гиперповерхности, описываемой уравнением с несколькими аргументами и не поддающейся геометрической интерпретации.
Вместе с тем модель, отражающая зависимость исследуемого параметра или критерия от многих переменных, должна быть достаточно информативной, достоверной и удобной в пользовании.
При значительном числе входов xi модель может быть нелинейной и иметь сложный рельеф с вершинами, впадинами, гребнями. Поиск экстремальных точек (вершин и впадин) на этой поверхности путем изменения входных величин составляет содержание оптимального управления. Обычно такая модель называется целевой функцией или поверхностью отклика, а оптимальное управление обеспечивает работу технологического объекта управления в области экстремального значения критерия качества.
Получить по данным эксперимента модель объекта управления, точно воспроизводящую поверхность отклика, весьма сложно. Поэтому на практике часто ограничиваются ее линейным или квадратичным приближением, выбирая диапазон изменения переменных в ограниченной области. Это возможно, если функция непрерывная и выпуклая. Границы области обычно выбирают так, чтобы в нее попал экстремум или предельно допустимые значения y и xi.
Такой подход может дать в большей степени качественное, нежели количественное решение. Оно сводится к оценке влияния различных факторов на исследуемую переменную y и дает возможность пренебречь некоторыми из них.
Метод, позволяющий получить многомерную модель объекта управления на основе эксперимента, получил название факторного анализа, нередко он называется методом планирования эксперимента, факторным экспериментом и т.п. Применительно к детерминированному объекту метод заключается в следующем:
- для объекта выбирают факторы хi, оказывающие существенное влияние на выход у; определяют области изменения хi;
- составляют программу (план) эксперимента;
- принудительно изменяя xi в избранных пределах и сочетаниях, определяемых программой эксперимента, фиксируют значения у;
- рассчитывают коэффициенты уравнений модели.
Основными условиями проведения эксперимента являются:
- выбор независимых друг от друга входных величин хi
- возможность и наблюдаемость изменения у;
- возможность задания хi с точностью, превышающей точность измерения у.
При постановке задачи выбирается центр области варьирования с координатами у0, х1 0, х2 0 … и устанавливаются границы области варьирования. По возможности область выбирается меньшей, что повышает точность модели. Выбор границ осуществляется с учетом влияния помех, так чтобы последние были намного меньшими, чем планируемое отклонение входной величины ximax или xi min от начального значения хi 0.
Природа объекта управления такова, что xi могут иметь различные физическую природу и размерность. Поэтому желательно пользоваться относительными величинами входных переменных. В качестве базовых удобно выбирать предельные отклонения ∆хi.
В этом случае
При таком подходе ось у помещается в центр идентифицируемой области, для которой
План проведения эксперимента и методика расчета коэффициентов зависят от выбранного типа модели. В наиболее часто встречающемся виде многомерная модель представляется степенным полиномом, содержащим также члены, учитывающие совместное действие факторов. Модель, порядок которой не превосходит второго, имеет вид
Г
де х0 — фиктивная переменная, вводимая для унификации членов модели и всегда равная 1.
После выбора типа модели определяется объем эксперимента. Необходимо установить, сколько раз, в какой последовательности и в каких различных сочетаниях надо изменять хi чтобы при минимальном объеме эксперимента получить достаточно достоверный результат.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5
