Модели многосвязных систем
Для современных АСУ ТП характерно объединение в единую систему отдельных приводов и механизмов и даже объединение сложных технологических агрегатов в комплексно-автоматизированные технологические линии, гибкие автоматизированные производства. Примерами первых могут служить станки с ЧПУ, отрабатывающие при обработке детали сложные траектории и обеспечивающие оптимальный режим резания; примерами вторых — технологические линии прокатного производства. Основной особенностью таких систем является невозможность рассмотрения их как механической совокупности от дельных механизмов. Это обусловлено взаимосвязью и взаимовлиянием друг на друга управляемых технологических параметров.
Для обеспечения требуемого качества продукции необходимо одно временно управлять многими взаимосвязанными переменными (технологическими параметрами) путем непрерывного воздействия на различные исполнительные механизмы. В подобных системах изменение одного управляющего или возмущающего воздействия вызывает изменение нескольких управляемых переменных и наоборот - каждая управляемая переменная зависит от нескольких управляющих воз действий. Многосвязными являются большинство систем, у которых есть несколько возможностей управлять одним объектом, подверженным обычно нескольким внешним воздействиям. Подобные системы называют также многоканальными или многомерными.
В многоканальных системах в отличие от одноканальных входные воздействия и выходы объекта в каждый момент времени описываются как многомерные векторы, а сам объект — оператором А, пре образующим вектор входных воздействий X в вектор выходных переменных Y:
Y = АX. (3.4)
В этом случае можно говорить об аналогии между оператором А и передаточной функцией в одноканальных системах. В многоканальных системах решаются те же задачи, что и в одноканальных, т.е стабилизация, программное и следящее управление, оптимизация. Здесь также решается вопрос об устойчивости системы, качестве ее динамики. Представляя систему многомерной, необходимо уметь путем структурных преобразований упрощать внутреннюю структуру сложной системы, соединять ее с другими системами и т.д. Самостоятельной задачей является получение и представление формализованных моделей таких систем.
Основным физическим принципом, положенным в основу аналитических методов получения моделей многомерных объектов, является метод универсальных уравнений.
Записав уравнения по типу (3.2), получим, например, для установившегося режима трехсвязной линейной системы уравнения вида:
(3.5)
где х1,х2,х3 – входные, а у1,у2,у3 – выходные переменные; aij, bij – коэффициенты – вещественные числа, которые могут принимать также и нулевые значения.
При записи уравнений динамика структуры системы уравнений будет аналогичной (3.5), но вместо yi и xi будут фигурировать временные функции xi (t) и yi (t) или их операторные изображения xi (p) и yi (p), а вместо коэффициентов aij, bij – оперторные полиномы.
После решения системы уравнений (3.5) или ее динамического аналога она принемает вид:
(3.6)
где ci — вещественный коэффициент для уравнений статики или передаточная функция для уравнений динамики.
Модель системы в виде уравнений (3.5) или (3.6) может быть определена любой внутренней структурой, т.е. связи между каналами могут быть обусловлены непосредственным взаимодействием переменных, прямыми связями входа с различными выходами и обратными связями от выходов к входам. На рис. 3.1 приведена система, обладающая указанными свойствами. Эту систему можно описать следующими уравнениями:
После преобразований система (3.7) принимает вид, аналогичный (3.6):
Рисунок 3.1 – Пример трехсвязной структуры
Как видно из изложенного, даже для относительно простой системы запись формальной модели получается весьма громоздкой. После приведения ее к виду (3.6) решать систему обычным способом становится сложно. С увеличением числа входов и выходов задача еще более усложняется.
Для получения более компактных и унифицированных форм представления моделей многомерных систем применяется матричная форма записи переменных и операторов преобразования.
Например, система (3.5) в матричной форме может быть представлена в виде
AY = ВХ, (3.9)
где X, Y - матрицы входных и выходных переменных; А, В - матрицы преобразований.
Система (3.6) принимает вид
Y = СХ. (3.10)
Под матрицами в данном случае понимается упорядоченная, т.е. выполненная по определенному правилу, табличная форма записи цифр, буквенных коэффициентов или передаточных функций и полиномов. Так, в (3.10) матрицы имеют вид:
Главное преимущество матричной формы записи заключается в том, что, составляя матрицы по определенным правилам, можно трансформировать в матричную форму не только запись переменных, но и операции над ними.
При наличии некоторых навыков операции над матрицами также легче воспринимаются, чем операции с множеством переменных. Математическое обеспечение современных ЭВМ располагает программами, ориентированными на унифицированное матричное представление задач анализа и синтеза многомерных систем, что позволяет широко применять для этих целей современную вычислительную технику.
Использование матричного представления объекта весьма эффективно при анализе и синтезе системы по динамическим показателям. Одним из наиболее современных методов анализа динамики много мерных систем является метод пространства состояний. Под переменными состояния и образуемым ими пространством состояний понимается совокупность величин, позволяющих по известным входным сигналам для t > t0 определить выходные сигналы для t ≥ t0.
В качестве переменных состояния могут приниматься как выходные переменные, так и их производные. Так, для одномерной системы, описываемой дифференциальным уравнением л-го порядка, переменными состояния будут значения у и (n – 1) производных в момент t = 0, позволяющие в дальнейшем при решении дифференциального уравнения классическим методом определить постоянные интегрирования.
Для многомерной системы понятие переменных состояния рассмотрим на примере электропривода с системой управления преобразователь - двигатель при действии на преобразователь двух управляющих воздействий и1 и и2. Динамическая модель такой системы имеет вид:
(3.11)
Выберем в качестве переменных состояния интересующие нас величины, приняв их выходами системы, и обозначим их
Запишем выражения для динамической модели объекта в виде системы дифференциальных уравнений в канонической форме:
(3.12)
Применительно к примеру система будет иметь вид:
(3.13)
или в матричной форме
или, если раскрыть матрицы
Здесь Y(f) - столбец неизвестных выходных функций времени или переменных состояния; F (t) — столбец задающих (входных) функций времени; А, В — квадратные матрицы постоянных коэффициентов.
Сравнивая (3.14) с записью дифференциального уравнения первого порядка и располагая формулой его решения
И располагая формулой его решения
где τ — переменная интегрирования, можно доказать, что и для матричного выражения системы дифференциальных уравнений можно напирать аналогичное выражение для ее решения. Здесь матричная экспоненциальная функция еAt может быть представлена рядом системы уравнения вида:
Здесь матричная экспоненциальная функция еAt может быть представлена рядом:
Требуемые для получения временных функций суммирование и умножение матриц выполняются на ЭВМ по типовым программам.
Как и одномерные системы, многомерные решают задачи стабилизации совокупности параметров, программно-следящего их изменения или оптимизации.
Специфичным для многомерных систем является возможность неравенства числа входов и выходов, обычно пу ≤ пх, а также взаимовлияние каналов друг на друга. Формально это взаимовлияние представляется в виде перекрестных связей с передаточными функциями Н2 (р), Н6(р), Н7 (р) на рис. 3.1. Если они являются объективным проявлением природы управляемого объекта, они называются естественными. Если введены специально, например, для нейтрализации взаимовлияния — искусственными или корректирующими.
Например (рис. 3.1), для компенсации влияния y на y3 представ ленного в виде естественной связи с передаточной функцией Н6 (р), необходимо на вход х6 подать с входа Х корректирующую связь с передаточной функцией
Тогда выражение для уъ (р) в (3.8) примет вид
или
Здесь уъ становится независимым от х i.
Рассматривая систему (3.8), можно ввести понятие передаточной матрицы является собственными передаточными функциями. Они отражают зависимость выхода от "своего" входа; остальные (обозначим их L) являются несобственными. Тогда
где
Очевидно, чтобы каналы стали автономными, передаточная матрица должна стать диагональной.
При частотных методах исследования если на один из входов подать гармонический сигнал частоты ω, то на всех выходах появятся гармонические сигналы той же частоты, но с разными амплитудами и фазами, т.е. может быть введено понятие собственной и несобственной амплитудно-фазовых характеристик.
Аналогично можно рассматривать переходную матрицу, отражающую временную реакцию выходов на единичные скачки на входах.
При построении сложных систем из многомерных звеньев, как и при использовании одномерных звеньев, очень удобны и наглядны структурные схемы из звеньев и связей между ними, которые изображаются двойными линиями.
Хотя наиболее универсальным подходом при анализе и преобразовании такой системы является совместное решение систем уравнений в матричной форме, возможны и привычные структурные преобразования. Правила преобразования и методы их обоснования в многомерных системах хорошо ассоциируются с одномерными, хотя и имеют свою специфику.
Для простоты рассмотрим преобразования с матричными звеньями одинакового размера, когда число входов равно числу выходов. Тогда при последовательном соединении матричных звеньев с передаточными функциями Н1(р) и Н2(р) эквивалентное звено описывается матрицей
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5
