Левая граница определяется сопряжением среднечастотного и низкочастотного участков. Из Рисунка видно, что сопряжение участков происходит при logw2=1,42 дек. Следовательно, частота сопряжения w2= 26,303с-1.
Высокочастотные асимптоты желаемой ЛАЧХ выполняем параллельными высокочастотным асимптотам ЛАЧХ исходной системы. То есть, на частоте wс наклон становится -80дБ/дек.
Желаемая ЛАХ представлена на миллиметровке.
Корректирующие звенья могут вводиться в систему различными способами: а) последовательно; б) параллельно; в) в виде местной обратной связи.
В данной работе КУ включается последовательно, т. к. в маломощных системах нецелесообразно применение корректирующих устройств, сложность моделей которых соизмерима со сложностью моделей всей системы. Простота - достоинство ПКУ. Но есть и недостаток - эффект коррекции уменьшается с течением времени эксплуатации системы, что связано с изменением элементов параметров системы из-за процессов старения и износа. Поэтому при использовании ПКУ предъявляются жесткие требования к стабильности параметров элементов системы.
Определим передаточную функцию корректирующего устройства последовательного типа по формуле:
Получим ПФ корректирующего устройства и определим параметры:
где ,
где
Структурная схема скорректированной системы примет вид
_
Рисунок 1.13 - Структурная схема скорректированной системы
ЛАХ корректирующего устройства получается при вычитании исходной ЛАХ из желаемой (рисунок на миллиметровке).
Проверим, соответствует ли система с корректирующим устройством требованиям ТЗ.
Определим ошибку системы.
Относительную динамическую ошибку системы определим как в п. 1.1 по формуле:
Передаточная функция разомкнутой системы:
(1.10)
Частотная передаточная функция разомкнутой системы:
Тогда, модуль частотной передаточной функции:
Подставляя значение ωk в формулу для , находим
Относительная динамическая ошибка системы 1,6%, следовательно, скорректированная система удовлетворяет требованиям ТЗ.
Рассмотрим, удовлетворяет ли исходная система требованию по качеству переходного процесса: время регулирования tp- не более 0.25 с, перерегулирование - не более 20%.
Для проверки величин и tp построим график переходной характеристики исходной системы по выходу ДОС:
,
где - передаточная функция замкнутой системы по выходу ДОС.
Рисунок 1.14 - График переходной характеристики
где hmax=1,188 - максимальное значение регулируемой величины;
=1- установившееся значение регулируемой величины в результате завершения переходного процесса.
Перерегулирование скорректированной системы удовлетворяет ТЗ.
Определим время переходного процесса tp:
построив “коридор” с величину , из Рисунка 1.14 определяем, что tp=0.147 с.
Временя регулирования tp удовлетворяет требованию ТЗ.
1.4.1 Рассчитаем и построим ЛАЧХ и ЛФЧХ скорректированной разомкнутой системы
Используем передаточную функцию разомкнутой системы (1.10)
Для получения частотной передаточной функции заменим S на jw и преобразуем
Вещественная и мнимая части соответственно:
(1.11) ; (1.12)
Тогда
.
ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы представлены ниже.
ЛАЧХ скорректированной системы сместилась вправо, следовательно, необходимые требования по точности выполняются, запасы устойчивости увеличились по сравнению с системой с пропорциональным регулятором.
-- ЛАЧХ и ЛФЧХ скорректированной системы
- - ЛАЧХ и ЛФЧХ системы с пропорциональным регулятором
Рисунок 1.15 ЛАЧХ и ЛФЧХ систем
Построим график АФЧХ по имеющимся формулам (1.11) и (1.12) и сравним его с графиком системы с пропорциональным регулятором. Он представляет собой годограф Найквиста, поэтому сделаем ниже дополнительно выводы об устойчивости системы.
Составим таблицу, изменяя w от 0 до ∞:
Таблица 1.3
W, P(w)Q(w)
0
-10,604
-∞
852,2
5,806*10-3
274,2
-0,094
00
-- годограф скорректированной системы
- - годограф системы с пропорциональным регулятором
Рисунок 1.16 - Годограф Найквиста
Характеристическое уравнение имеет вид:
Все корни характеристического уравнения, кроме одного нулевого, левые, следовательно, разомкнутая система на границе устойчивости. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста, дополненный на участке разрыва дугой бесконечно большого радиуса, не охватывал особу точку (-1; j0). Данное условие выполняется, значит, замкнутая система устойчива.
Построим годограф Михайлова для системы.
Передаточная функция замкнутой системы:
(1.13)
Функция Михайлова имеет вид:
(1.14)
Выполним замену S на jw и выделим вещественную и мнимую части соответственно.
;
Найдем значения X(w) и Y(w), изменяя при этом w от 0 до ∞:
Таблица 1.4
w, X(w)Y(w)
85.227
26.125
114.613
79.717
-648.966
275.355
-13120
816.259
6.473*106
-- скорректированной системы
- - системы с пропорциональным регулятором
Рисунок 1.17 годограф Михайлова для замкнутой системы
Годограф Михайлова начинается на вещественной положительной оси и при изменении частоты w от 0 до + последовательно проходит 5 квадрантов против часовой стрелки, нигде не обращаясь в ноль. Это свидетельствует об устойчивости замкнутой системы.
Рассчитаем и построим для замкнутой системы АЧХ “вход- выход системы”. Для этого воспользуемся передаточной функцией замкнутой системы (1.13). Заменим s на jw и преобразуем данное выражение:
Выделим вещественную и мнимую части соответственно:
Находим
(1.15)
График АЧХ “вход- выход системы” представлен ниже.
Рассчитаем и построим АЧХ “вход- выход ДОС”. Запишем передаточную функцию замкнутой системы по выходу ДОС, которая имеет вид:
Преобразуем данное выражение:
(1.16)
Получим модуль передаточной функции замкнутой системы по выходу ДОС:
(1.17)
--- АЧХ «вход- выход ДОС»,
- - - АЧХ «вход- выход системы».
Рисунок 1.18 АЧХ
Рассчитаем и построим АЧХ “вход- выход УМ ”. Передаточная функция замкнутой системы по выходу УМ имеет вид:
(1.18)
Модуль передаточной функции замкнутой системы по выходу УМ:
Рисунок 1.19 АЧХ вход-выход УМ
Частота среза и запасы устойчивости разомкнутой системы определяются по ЛАЧХ и ЛФЧХ. Определим их из рисунка 1.15
ЛАЧХ пересекает ось в точке lg(w)=1.614 дек. Тогда wср=41.072 с-1
ЛФЧХ пересекает уровень -180° при lg(w)=2.438 дек. Тогда wкр=274.35 с-1
Запас устойчивости по амплитуде найдем по годографу Найквиста:
Где hзап- расстояние до точки пересечения годографа Найквиста с действительной осью. (рис. 1.16)
дБ
Запас устойчивости по фазе определим по рисунку 1.15:
φзап=φ(wcp)+1800
φзап=54,7330
Критический коэффициент найдем с использованием критерия Гурвица:
Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:
(3.1)
Тогда оставим переменным параметр: K.
Получим следующие коэффициенты:
Для нахождения системы на границе устойчивости должны выполняться следующие условия:
1) одинаковость знака всех коэффициентов
2) для системы 5 порядка определитель D4=0
Решая уравнение в пакете MathCad получим следующие результаты:
Показатель колебательности определим по формуле:
и N(0) находим по АЧХ замкнутой системы по выходу ДОС
N(0)=1
Nmax=1.239,
Следовательно.
Сравним результаты с результатами, полученными в пункте 1.2.3
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5