Граф на рис. 1 может быть отнесен к семейству байесовых сетей. В дан-ном примере переменные в узлах могут принимать только булевы значения 1 или 0 (да/нет). Из графа на рис. 1 можно сделать несколько полезных выводов о зависимости и независимости переменных. В традиционной постановке байесовы сети не предназначены для оперирования с непрерывным набором состояний (например, с действительным числом на заданном отрез-ке). Для представления действительных чисел в некоторых приложениях можно провести разбиение отрезка на сегменты и рассматривать дискретный набор их центров.

Например, если известно, что ночью не было дождя, то информация о состоянии травы у дома Ватсона не оказывает влияния на ожидания по поводу состояния травы у дома Холмса.

В середине 80-х годов были подробно проанализированы способы, ко-торыми влияние информации распространяется между переменными в байесовой сети. Будем считать, что две переменные разделены, если но-вые сведения о значении одной из них не оказывают влияния на ожидания по поводу другой. Если состояние переменной известно, мы будем назы-вать такую переменную конкретизированной.

В байесовой сети возможны три типа отношений между переменными:

1. последовательные соединения (рис. 2a);

2. дивергентные соединения (рис. 2b),;

3. конвергентные соединения (рис. 2c).

Ситуация на рис. 2c требует, по-видимому, дополнительных поясне-ний--как возникает зависимость между предками конвергентного узла, когда становится известным значение потомка. Для простоты рассмот-рим пример, когда узел A имеет всего двух предков -B и C. Пусть эти две переменные отвечают за выпадение орла и решки при независимом броса-нии двух разных монет, а переменная A -- логический индикатор, который «загорается», когда обе монеты оказались в одинаковом состоянии (напри-мер, обе - решки). Теперь легко понять, что если значение индикаторной переменной стало известным, то значения B и C стали зависимыми -- знание одного из них полностью определяет оставшееся.

Общее свойство (условной) независимости переменных -- узлов в бай-есовой сети получило название d-разделения (d-separation).

Определение d-разделимости

Две переменные A и B в байесовой сети являются d-разделенными, если на каждом пути, соединяющем эти две вершины на графе, найдется промежуточная переменная V, такая что:

1. соединение с V последовательное или дивергентное и значение V известно, либо

2. соединение конвергентное и нет свидетельств ни о значении V, ни о каждом из ее потомков.

Так, в сети задачи Шерлока Холмса (рис. 1) переменные «Полив?» и «Трава у дома Ватсона?» являются d-разделенными. Граф содержит на пути между этими переменными конвергентное соединение с переменной «Трава у до-ма Холмса?».

(a)

(b)

(c)

Рисунок 2 Три типа отношений между переменными(a) Последовательное соединение. Влияние информации может распростра-няться от A к C и обратно, пока значение B не конкретизировано. (b) Дивер-гентное соединение. Влияние может распространяться между потомками узла A, пока его значение не конкретизировано. (c) Конвергентное соединение. Если об A ничего не известно, кроме того, что может быть выведено из информации о его предках B,C,... ,E, то эти переменные предки являются разделенными. При уточнении A открывается канал взаимного влияния между его предками.

Использование Байесовых сетей.

Вероятности прогнозируемых значений отдельных переменных

На практике нам необходимы распределения интересующих нас пере-менных, взятые по отдельности. Они могут быть получены из соотношения для полной вероятности при помощи маргинализации -- суммирования по реализациям всех переменных, кроме, выбранных.

Приведем пример точных вычислений в простой байесовой сети, мо-делирующей задачу Шерлока Холмса. Обозначения и смысл пе-ременных в сети : R --был ли дождь, S -- включена ли поливальная установка, C -- влажная ли трава у дома Холмса, и W -- влажная ли трава у дома Ватсона.

Все четыре переменные принимают булевы значения 0 -- ложь, (f) или 1 -- истина (t). Совместная вероятность P(R, S, C, W), таким образом, да-ется совокупной таблицей из 16 чисел. Таблица вероятностей нормирована, так что

Зная совместное распределение, легко найти любые интересующие нас условные и частичные распределения. Например, вероятность того, что ночью не было дождя при условии, что трава у дома Ватсона -- влажная, дается простым вычислением:

Из теоремы об умножении вероятностей полная вероятность пред-ставляется цепочкой условных вероятностей:

P(R, S, C, W) = P(R) * P(S | R) * P(C |R,S)*P(W | R, S, C).

В описанной ранее байесовой сети ориентированные ребра графа отража-ют суть вероятностей, которые реально имеют место в задаче. Поэтому формула для полной вероятности существенно упрощает-ся:

P(R, S, C, W) = P(R) *P(S) * P(C |R,S)*P(W | R).

Порядок следования переменных в соотношении для полной вероятности, вообще говоря, может быть любым. Однако на практике целесообразно выбирать такой порядок, при котором условные вероятности максимально редуцируются. Это происходит, если начинать с переменных-«причин», постепенно переходя к «следствиям». При этом полезно представлять себе некоторую «историю», согласно которой причины влияют на следствия.

Пример построения простейшей байесовской сети доверия.

Рис.1. Пример байесовской сети доверия с тремя событиями.

В данном простейшем случае рассмотрим ситуацию, при которой каждая вершина может принимать всего лишь два возможных состояний и, как следствие находится в одном из них, а именно:

Вершина “Болеет” говорит о том, что дерево заболело, будучи в состоянии «болеет», в противном случае она находится в состоянии «нет». Аналогично для других двух вершин. Рассматриваемая байесовская сеть доверия, моделирует тот факт, что имеется причинно-следственная зависимость от события “Болеет” к событию “Облетело” и от события “Засохло” к событию “Облетело”. Это отображено стрелками на байесовской сети доверия.

Когда есть причинно-следственная зависимость от вершины А к другой вершине B, то мы ожидаем, что когда A находится в некотором определённом состоянии, это оказывает влияние на состояние B. Следует быть внимательным, когда моделируется зависимость в байесовских сетях доверия. Иногда совсем не очевидно, какое направление должна иметь стрелка.

Например, в рассматриваемом примере, мы говорим, что имеется зависимость от “Болеет” к “Облетело”, так как когда дерево болеет, это может вызывать опадание его листвы. Опадание листвы является следствием болезни, а не болезнь - следствием опадания листвы.

На приведенном выше рисунке дано графическое представление байесовской сети доверия. Однако, это только качественное представление байесовской сети доверия. Перед тем, как назвать это полностью байесовской сетью доверия необходимо определить количественное представление, то есть множество таблиц условных вероятностей:

Страницы: 1, 2, 3