Если при записи числа опустить степени основания системы счисления, то число можно записать в следующем компактном виде:
M(р)= аkаk-1...а1, а0 а-1 ... a-m…
Компактность представления чисел, а также удобные алгоритмы выполнения операций сложения, умножения, обусловили широкое распространение позиционных систем счисления.
Непозиционные системы счисления построены иначе. Например, в системе римских цифр имеется набор символов: единица I, пять V, десять X, пятьдесят L и т.д., комбинация которых позволяет представить любое число. Так, число 77 в этой системе счисления запишется так: LXXVII. В этой системе значение каждого символа не зависит от того места, на котором он стоит. В приведенной записи числа 77 цифра X используется 2 раза, и каждый раз обозначает одну и ту же величину - десять единиц.
Один из первых создателей электронных вычислительных машин профессор Атанасов А. предложил использовать в ЭВМ двоичную систему счисления. Набор символом, используемых для представления и обработки информации в компьютере минимален. Он включает всего два символа - 0 и 1, с помощью комбинации которых (последовательностей единиц и нулей) можно записать любое число, причем при этом может потребоваться различное число бит (двоичных разрядов), что и указано в таблице 1. Использование в современных ЭВМ двоичного представления информации, как было отмечено выше, объясняется удобством технической реализации устройств хранения и обработки информации.
Таблица 1. - Изображение чисел в позиционных системах счисления, применяемых в компьютерах
Р=10
Р=2
Р=8
Шестнадцатеричное Р=16
1
2
3
4
15
1111
17
F
16
10000
20
10
При решении задач на ЭВМ исходные данные обычно задаются в десятичной системе счисления; в этой же системе, как правило, нужно получить и результат решения задачи. Но если ЭВМ работает в какой-либо другой системе счисления, например в двоичной, то возникает необходимость перевода чисел из одной системы счисления в другую. При рассмотрении правил такого перевода мы ограничимся только такими системами счисления, у которых базисными числами являются последовательные целые числа от 0 до P-1 включительно, где P - основание системы счисления.
При переводе числа из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием Р перевод целой и дробной части числа производится отдельно. Перевод целого числа из десятичной системы счисления в любую другую с основанием Р производится многократным делением десятичного числа на основание Р, пока частное не станет меньше Р. Последнее частное будет старшим разрядом числа, а остаток от первого деления на Р - младшим. На практике удобно пользоваться следующей схемой, которую проиллюстрируем при переводе числа 56 из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
56(10)> (2) > (8) > (16)
56
28
0
14
7
6
1 последнее частное
Ответ: 56(10)=111000(2);
8
Ответ: 56(10)=70(8).
48
Ответ: 56(10)=38(16).
Чтобы перевести правильную дробь из десятичной системы счисления в любую другую с основанием P, ее последовательно умножают на P, при этом каждый раз умножается только дробная часть образовавшегося произведения. Процесс перевода продолжается либо до достижения заданной точности, либо до обнаружения периода. Дробь в системе счисления с основанием P записывается в виде дроби из целых частей образовавшихся произведений, начиная с первого.
Перевод десятичных дробей удобно производить по схеме, которую проиллюстрируем на примерах.
Перевести:
0,75(10)>(8)
0,
75
6,
00
Ответ: 0,75(10)=0,6(8)
2) 0,7(10)>(16)
11,
3,
Ответ: 0,7(10)=0,В(3)(16)
2) 0,4(10)>(2)
1,
Ответ: 0,4(10)=0,01(2)
Во втором случае перевод выполняется с учетом веса каждого разряда.
354,4(8) =3·82+5·81+4·80+4·8-1(10) =192+40+4+0,5(10)=236,5(10);
A1F,8(16)=A·162+1·161+F·160+8·16-1(16) = 10·162+1·16+15+8/16(10)= =2591,5(10).
Примеры для отработки навыков.
1) 1А0,Е(16) > (10);2) -1011101,101(2) > (10); 3) 101,1(8) > (10)
Переход из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления и обратно
Поскольку основание восьмеричной системы 8=23, то разложение числа по степеням 8 легко переводится в разложение по степеням 2 и наоборот. При этом каждая цифра восьмеричной системы (0,…,7) имеет свое разложение по степеням 2. Например,
2(8)=0·22+1·21+0·20=(010)2 6(8)=1·22+1·21+0·20=(110)2
Тогда переход от восьмеричного представления числа в двоично-восьмеричное осуществляется путем замены каждой восьмеричной цифры соответствующей двоичной триадой.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14