720(8)=7·82+2·81+0·80=(1·22+1·2+1·20)26+(0·22+1·2+0·20)·23+(0·22+0·21+0·20)=1·28+1·27+1·26+0·25+1·24+0·23+0·22+0·21+0·20=111010000(2)=11 010 000(2).

7 2 0

Для представления двоичного числа в восьмеричной системе надо число разбить на двоичные триады влево и вправо от запятой и затем заменить каждую триаду, соответствующей ей восьмеричной цифрой.

101 111 011, 001 100(2) = 573,14(8)

Четыре двоичных разряда позволяют закодировать любую десятичную цифру и получить 16 различных кодовых комбинаций, из которых 10 (от 0000 до 1001) используются для представления десятичных цифр. Кодовые комбинации, соответствующие числам 10 и более, условно обозначаются первыми буквами латинского алфавита (графа 4 таблицы 1). Так получается шестнадцатеричная система счисления. В программах для ЭВМ, чтобы не выписывать длинную вереницу нулей и единиц, вместо каждых четырех разрядов (тетрад) записывается их шестнадцатеричный эквивалент. Например, шестнадцатеричный эквивалент числа 0101 0001 1111 0011 будет 51F3.

Арифметические операции в электронных вычислительных машинах

В вычислительных машинах вся информация представляется в двоичной форме, а для выполнения вычислений используется непосредственно двоичная система счисления.

Арифметические операции с двоичными числами производятся так же, как с десятичными, с той лишь разницей, что в десятичной системе цифры каждого разряда возрастают в порядке 1,2,…,8,9, а при достижении величины 10 в этом разряде записывается 0 и делается перенос единицы в старший разряд. В двоичной системе используются только два символа 0 и 1, поэтому цифры в каждом разряде могут изменяться только в пределах этих двух значений, после этого происходит перенос в более старший разряд.

Таблица 1. -Таблица сложения двух бинарных чисел, имеет следующий вид:

Здесь 10 - это 2 в двоичной системе счисления.

Например:

1110,01(2)10111,011(2)

+ 1010,10(2) + 11101,101(2)

11000,11(2) 110101,000(2)

Обычно для представления положительных и отрицательных чисел используются величины со знаками, причем при представлении положительных чисел знак «+» можно опускать, а знак «-» при изображении отрицательных чисел должен ставиться, что для реализации на вычислительных машинах неудобно. В вычислительных машинах используется форма представления чисел в дополнительных кодах, а знаки «+» и «-» используются для указания арифметических операций.

В двоичной системе счисления числа могут быть представлены в форме дополнения до основания системы счисления, то есть до 2. В двоичном дополнительном коде всем положительным числам предшествует 0, а отрицательным числам - единица. Таким образом, при представлении чисел в дополнительном коде крайний левый бит (старший) является знаковым: 0 означает положительное число, а 1 - отрицательное.

1011 1100 101 110 111 000 001 010 011 0100 0101

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Числа, стоящие по разные стороны от нуля, являются взаимно дополнительными, то есть их сумма всегда равна 0. Чтобы представить двоичное число в дополнительной форме, его инвертируют (заменяют 0 на 1, а 1 - на 0) прибавляют к нему 1. Операция вычитания выполняется путем сложения дополнительных кодов.

Пример:

Выполнить вычитание 10111,1-1010,1.

На первом этапе необходимо указанные числа выровнять по значности (они должны иметь одинаковое количество разрядов) и представить в дополнительном коде.

[10111,1]доп.= 0 10111,1

[ -01010,1]доп.= 1 10101,0 + 00000,1 = 1 10101,1.

На втором этапе выполняется вычитание как сложение с дополнительным числом, то есть:

0 10111,1

+ 1 10101,1

01101,0 = 1101.

Операции умножения, деления, возведения в степень и вычисления функций процессор не выполняет, их необходимо выполнять программным путем, используя сдвиги влево и вправо. Сдвиг двоичного числа на одну позицию влево приводит к его удвоению подобно тому, так сдвиг десятичного числа на одну позицию вправо - к его уменьшению на 10. Сдвиг двоичного числа на одну позицию вправо делит его пополам.

Контрольные вопросы и примеры

Что понимается под системой счисления?

Чем отличается позиционная система счисления от непозиционной?

Дайте определение базиса и основания позиционной системы счисления.

Как перевести число из 10> 2, из 10> 16?

Как перевести число из 2> 10, из 8>10, из 16>10?

Каков принцип построения позиционных систем счисления?

Как изображаются числа в дополнительном коде?

Опишите схему вычитания чисел с помощью дополнительного кода.

Перевести числа из одной системы счисления в другую:

а) 625(10)>(2);б) 3628,5(10) >(16);в) 1024,4(10) > (8);

г) 134,6(8) >(10);д) -ВСО(16) >(10).

Записать числа в дополнительном коде:

а) 1563,04(10) г) -3А01(16)

б) -2,149(10)д) -01010,101(2)

в) -0,1001101(2)е) -37,54(8)

Выполните арифметические операции в двоичной системе:

а) 1011,11б)1011,101

+ 101,11 - 110,11

12. Комплексное задание: в таблице 2 приведены по вариантам числа в десятичной, двоичной и восьмеричной системах счисления:

Таблица 2.Системы счисления

Выполнить:

перевести число из 10-ой системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную;

перевести число из 2-ой системы счисления в десятичную и восьмеричную;

перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную и двоичную системы;

выполнить сложение чисел, находящихся в 2 и 4 графах таблицы 2, пользуясь двоичной арифметикой;

выполнить вычитание двоичных чисел, находящихся в тех же графах таблицы 2.

Основы математической логики

В математических и других рассуждениях постоянно встречаются повествовательные предложения, образованные путем видоизменения некоторого предложения с помощью слова не или связывания предложений с помощью слов и, или, если …, то (или влечет), тогда и только тогда, когда. Эти пять слов или комбинаций слов называются сентенциональными связками. Они являются основой для построения сложных предложений (т.е. таких повествовательных предложений в которых содержится одна или более чем одна связка), составленных их простых предложений (т.е. таких, каждое из которых или не содержит связку, или рассматривается как «неразложимое»).

Повествовательное предложение о котором можно сказать истинно оно или ложно мы будем называть высказыванием. Множество повествовательных предложений и сентенциональных связок образует исчисление высказываний. Если обозначать высказывания большими латинскими буквами и ввести для сентенциональных связок условные обозначения (значки), то можно перейти к логическим формулам результатом которых будут логические значения - истина или ложь.

Дадим определения для основных логических операций.

1. Конъюнкцией (или операцией логического умножения) двух высказываний A и B называют высказывание C, которое истинно тогда и только тогда, когда истины оба высказывания входящие в конъюнкцию. Конъюнкция (иногда логическое «и») обозначается значком и записывается так: AB.

2. Дизъюнкцией (или операцией логического сложения) двух высказываний A и B называют высказывание C, которое ложно тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания входящие в дизъюнкцию. Дизъюнкция (иногда логическое «или») обозначается значком и записывается так: AB.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14