Теперь рассмотрим второй пример.

Пример 4.3.4. Рассмотрим систему восьмого порядка

Необходимо использовать метод прогнозирования взаимодействия для нахождения u*.

Решение: Система была разложена на две подсистемы четвертого порядка и были выбраны tf=2, =0.1 , Q1=Q2=I4, R1=R2=1. Первоначальные значения , i=1,2 и состояние х0 были приняты за , и . Сходимость была очень быстрой, как видно на рисунке 4.13. Всего за четыре итерации второго уровня ошибка взаимодействия была снижена до . Фактически была быстрая сходимость для различных x0 и .

САПР пример 4.3.1. Рассмотрим систему четвертого порядка в примере 4.3.1 в (4.3.59):

Где x(0)=(-1,0.1,1.0,-0.5)T , квадратичная функция оценки Q =diag(2,1,1,2), R=diag(1,2) и нет граничного штрафа. Необходимо использовать LSSPAK или подобное программное обеспечение и метод прогнозирования взаимодействия и найти оптимальное управление для tf=2.

Решение: Как и раньше, система делится на две подсистемы второго порядка, и уравнения Риккати для подсистем решаются с использованием RICRKUT от LSSPAK/PC, а их решения представлены в виде полинома четвертого порядка для удобства вычислений. Используя программу INTRPRD от LSSPAK/PC реализуют алгоритм прогнозирования взаимодействия и схождение достигается за пять итераций. Точные выборки из выполнения этого САПр примера приведены ниже. Инструкции для вычерчивания программы прогнозирования взаимодействия появляются, когда на экране появится чертеж; нажмите Enter, чтобы вернуться к меню.

Если вы хотите вывести чертежи через принтер откройте DOS файл GRAPHICS до запуска программы, когда вы захотите вывести чертеж, нажмите shift-PrtScr.

Optimization via the interaction prediction method.

Initial time (to): 0

Final time (tf): 2

Step size (Dt): .1

Total no. of 2nd level iterations = 6

Error tolerance for multi-level iterations - .00001

Order of overall large scale system = 4

Order of overall control vector (r) = 2

Number of subsystems in large scale system = 2

Matrix Subsystem state orders-n sub i 0.200D+01 0.200D+01

Matrix Subsystem input orders-r sub i 0.100D+01 0.100D+01

Polynomial approximation for the Ricatti matrices to be used.

Matrix Ricatti coefficients for SS# 1

Matrix Ricatti coefficients for SS# 2

System Matrix A

Matrix Input Matrix B

Matrix Input Cost Function R

Matrix Lagrange Multiplier Initial Values

Matrix Initial conditions vector xO

Subsystem no. 1 at 2nd level iteration no. 1

Subsystem no. 2 at 2nd level iteration no. 1

At second level iteration no. 1 interaction error = 0.347D+00

Subsystem no. 1 at 2nd level iteration no. 2

Subsystem no. 2 at 2nd level iteration no. 2

At second level iteration no. 2 interaction error = 0.771D - 03

Subsystem no. 1 at 2nd level iteration no. 3

Subsystem no. 2 at 2nd level iteration no. 3

At second level iteration no. 3 interaction error = 0.507D - 03

Subsystem no. 1 at 2nd level iteration no. 4

Subsystem no. 2 at 2nd level iteration no. 4

At second level iteration no. 4 interaction error = 0.323D - 04

Subsystem no. 1 at 2nd level iteration no. 5

Subsystem no. 2 at 2nd level iteration no. 5

At second level iteration no. 5 interaction error = 0.310D - 05

Оптимальные отклики показаны на рисунке 4.14, а схождение на рисунке 4.15.

Другие применения метода прогнозирования взаимодействия представлены в разделе задач.

4.3.3 Согласование цели и однородность

Когда в (4.3.15) - (4.3.17) обсуждался метод согласования цели, было замечено, что положительно определенные матрицы Si были введены в функцию оценки (4.3.17) для того, чтобы избежать однородности. Чтобы убедится в этом, обратимся к задаче минимизации Li в (4.1.24) для объекта (4.3.15). Пусть i-й Гамильтониан подсистемы имеет вид:

(4.3.62)

Одно из необходимых уравнений для решения задачи i-й подсистемы на первом уровне

(4.3.63)

или

(4.3.64)

где однородное решение появляется, если не появляется в функции оценки. Чтобы избежать однородности на первом уровне возможны два альтернативных подхода. Следующий пример иллюстрирует два подхода.

Пример 4.3.5. Рассмотри следующую систему:

(4.3.65)

Необходимо найти (u1,u2), такие, чтобы они удовлетворяли (4.3.65), а квадратичная функция оценки

(4.3.66)

минимизировалась методом согласования цели.

Решение: Из (4.3.65) -(4.3.66) ясно, что систему можно разделить на две подсистемы первого порядка.

(4.3.67)

(4.3.68)

с ограничением взаимодействия

(4.3.69)

Задача в настоящий момент имеет следующий Гамильтониан:

(4.3.70)

в котором переменная взаимодействия появляется линейно. Применение метода согласования цели для данной формулировки приведет к однородности, так как z1 появляется линейно в (4.3.70). Следующая системная переформулировка задач поможет избежать однородности.

Часть а - подсистема 1, переменные состояния

Часть б - подсистема 1, переменные управления

Часть в - подсистема 2, переменные состояния

Часть г - подсистема 2, переменные управления

4.3.3.а. Переформулировка 1.

Bauman (1968) предложил переписать ограничения взаимодействия квадратичной формы

(4.3.71)

которая даст следующее необходимое условие для оптимизации на первом уровне:

(4.3.72)

для первой подсистемы и

(4.3.73)

для второй подсистемы. После введения формулы Риккати (4.3.72) и (4.3.73) мы получим:

и

где ki(t) - i-я скалярная нестационарная матрица Риккати для подсистемы. Согласование на втором уровне достигается через следующие итерации:

Эта переформулировка помогает избежать однородности, но делает схождение итераций второго уровня очень медленным.

4.3.3.б. Переформулировка 2.

Singh (1980) предложил альтернативную формулировку, которая не только позволит избежать однородности, но и даст хорошее схождение процедура основывается на том, чтобы найти х через вектор взаимодействия z и подставить его в функцию оценки, т.е. z можно представить как:

где G - считается неоднородной и переформулированный Гамильтониан представлен в виде:

В этом примере матрица G - однородна, но решение можно получить. Гамильтониан имеет вид:

А задача подсистемы первого уровня имеет вид

и

вторую подсистему можно решить сразу же, так как уравнение p2 - косостояние отделено от х2 и может быть решено в обратном порядке и подставлено в уравнение х2, что приведет к тому, что решение уравнения Риккати в данном примере не требуется. Но для первой подсистемы, исходя из формулировки задач первого уровня в прогнозировании взаимодействия (4.3.40) - (4.3.51), необходимо как уравнение Риккати, так и открытое сопряженное (компенсирующее) векторное уравнение. Для этого примера задача первой подсистемы имеет вид

где два дифференциальных уравнения для ki(t) и gi(t) нужно решить в обратном порядке. В то время как для второй подсистемы не нужно решать вспомогательное уравнение, надо решить два таких уравнения для первой подсистемы. В общем эта переформулировка требует решения

(4.3.74)

что означает, что уравнения вектора косостояния p отделено от х и может быть решено в обратном порядке (без решения уравнения Риккати) и подставлено в верхнее уравнение для нахождения х. Так как матрицы A, B, Q и R - блок-диагональные, задачу (4.3.74) можно разделить на N задач подсистем с условием, что отделяемо от z, где V=G-1.

Страницы: 1, 2, 3, 4