2. Анализ нелинейных стационарных объектов

Цель работы: исследовать параметры нелинейных стационарных объектов, описываемых системами нелинейных алгебраических уравнений, используя для их решения средства пакета MathCAD.

Содержание работы:

1) изучить теоретические положения (раздел 2.1), раскрывающие структуру нелинейных стационарных объектов, их математическое описание и пример решения систем нелинейных алгебраических уравнений средствами пакета MathCAD, используемый для анализа такого рода объектов;

2) выполнить индивидуальное задание согласно предусмотренной в разд.2.2 последовательности выполнения работы;

3) оформить описание раздела по контрольной работе согласно требованиям задания.

2.1. Краткие теоретические сведения

Структура и математическая модель объекта

Структурная схема нелинейного стационарного объекта имеет вид:

Такой объект представляет собой систему, которая имеет два входа х1 и х2 с постоянными значениями в установившемся режиме и два выхода в1 и в2. Структура объекта определяется сумматором S1 , умножителем М1, двумя линейно- усилительными блоками а1 , а2 и системой связей между ними.

В отличие от линейных стационарных объектов нелинейные описываются системами нелинейных алгебраических уравнений.

Математическая модель, соответствующая такой схеме, имеет вид:

а1х1 +а2х2=в1;

х1х2=в2

2.1.2. Анализ объектов

Исследование такого рода объектов состоит в определении значений входных воздействий х1 ,х2 в зависимости от значений выходов в1 и в2 при заданных параметрах объекта а1 и а2 .

Реализация решения задачи исследования нелинейного стационарного объекта в такой постановке может быть осуществлена с помощью средств системы символьной математики MathCAD 7.0 PRO .

2.1.3. Решение нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений

2.1.3.1. Постановка задачи. Пусть дано уравнение

, (2.1)

где функция определена и непрерывна на некотором интервале (А,В). Всякое значение , обращающее функцию в нуль, то есть такое, при котором , называется корнем уравнения (2.1), а процесс нахождения называется его решением.

Если функция представляет собой многочлен относительно , то уравнение называется нелинейным алгебраическим (например, ); если в функцию входят элементарные (тригонометрические, логарифмические, показательные и т.п.) функции, то такое уравнение называется трансцендентным (например, ).

2.1.3.2. Характеристика методов. Методы решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений (НАТУ) делятся на прямые и итерационные. Первые позволяют найти решение непосредственно с помощью формул и всегда обеспечивают получение точного решения. Однако прямые методы имеются только для ограниченного круга уравнений, поэтому на практике более широко используются итерационные методы.

В итерационных методах процедура решения задается в виде многократного применения некоторого алгоритма. Полученное решение всегда является приближенным, хотя может быть сколь угодно близким к точному.

В общем случае задача решается в 2 этапа:

определение приближенных значений корней уравнения;

уточнение корней до заданной степени точности с помощью одного из итерационных методов.

Для определения приближенных значений корней уравнения используются:

1) Построение графика функций и приближенное определение точек, где кривая пересекает ось Х.

Запись уравнения в виде и построение графиков двух функций: и . Точка их пересечения и есть корень исходного уравнения (5.1).

На втором этапе происходит уточнение корня с использованием критерия окончания итерационного процесса.

Итерационный процесс следует оканчивать, когда < , т.е. при близости двух последовательных приближений к корню.

Одним из итерационных методов для уточнения корня является метод Ньютона.

2.1.3.3. Метод Ньютона

2.1.3.3.1. Геометрическая интерпретация метода Ньютона. Геометрическая интерпретация метода Ньютона показана на рис 2.1.

Рис. 2.1. Метод Ньютона

Приняв в качестве начального приближения к корню некоторое значение , восстанавливаем перпендикуляр в точке к оси Х. В точке пересечения перпендикуляра с графиком функции , для которой отыскивается нуль, проводим касательную к кривой. Точка пересечения касательной с осью Х дает новое приближение к корню. После этого процесс повторяем для точки , получаем точку и т.д.

2.1.3.3.2. Получение формулы Ньютона. Определим рекуррентное соотношение для нахождения корня методом Ньютона.

Уравнение касательной в точке можно получить как уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей угловой коэффициент :

В точке пересечения касательной с осью Х, величина равняется нулю:

Отсюда

В общем случае для вычисления последующего приближения к корню по известному предыдущему формула Ньютона имеет вид:

К такому же результату можно придти, используя разложение в ряд Тейлора:

Члены, содержащие во второй и более высоких степенях, отбрасываются; используется соотношение . Предполагается, что переход от к приближает значение функции к нулю так, что т.е. точка выбирается такой, что значение функции в ней равняется нулю:

Полученная точка является точкой пересечения касательной в точке с осью Х. Поскольку кривая отлична от прямой, то значение функции скорее всего не будет в точности равно нулю (это результат отбрасывания членов высшего порядка в ряде Тейлора). Поэтому вся процедура повторяется, причем вместо используется .

Одно из преимуществ метода Ньютона - это то, что его можно распространить на решение систем нелинейных уравнений со многими переменными.

2.1.4. Решение систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений

2.1.4.1. Постановка задачи. Система n нелинейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

(2.2)

где - неизвестные;

- заданные функции n переменных.

Решением системы НАТУ называется совокупность чисел , которые, будучи поставлены на место неизвестных ,обращают каждое уравнение системы в тождество. Система (2.2) может иметь несколько решений. Нахождение решения системы уравнений является значительно более сложной задачей, чем решение одного уравнения. Для систем НАТУ не существует каких-либо приемов, используя которые получали бы приближенные значения корней. В некоторых случаях в результате построения графиков с последующим определением координат точек пересечения можно получить приближенные значения корней. Для уточнения корней всегда применяются итерационные методы, чаще всего метод Ньютона.

2.1.4.2. Метод Ньютона для решения систем НАТУ. Представим все n уравнений в виде рядов Тейлора:

(2.3)

Задача сводится к отысканию такой совокупности приращений , при которой близки к корню, т.е. левые части уравнений (2.3) обращаются в нули. Отбросив члены более высоких порядков, получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно :

(2.4)

Систему линейных уравнений (5.4) можно записать в матричном виде:

(2.5),

где матрица коэффициентов (А) состоит из частных производных функций по всем переменным, а вектор свободных членов (В) - из функций с противоположным знаком. Матрица в левой части (2.5) называется матрицей Якоби или якобианом.

Найденные из системы (2.5) значения используются как поправки для получения очередного - го приближения к решению:

(2.6)

Таким образом, для выполнения одной итерации методом Ньютона решают СЛАУ (2.5) относительно вектора поправок . Получив значение вектора поправок (), получим очередное приближение к корням () (2.6) и т.д. до тех пор, пока все получаемые поправки не будут достаточно малы, что свидетельствует о близости приближенного решения к истинному ().

Следует обратить внимание на то, что проверку поправок на каждом шаге итерации на условие < () необходимо выполнять для значений поправок всех корней (.

Пример: Найти методом Ньютона решение системы уравнений

Решение. Очевидно,

Для формирования матрицы Якоби получим частные производные:

Подставив в (2.5) в качестве: матрицы коэффициентов (А) - частные производные функций и вектора свободных членов (В) - функции с противоположным знаком, получим запись СЛАУ в виде:

(2.7)

Задавшись некоторым начальным приближением () и, подставив его вместо () в систему (2.7), решим полученную систему линейных уравнений (например, матричным способом ) и получим значение поправок . Если поправки не будут достаточно малы (т.е. условие < не выполняется), то вычисляется очередное приближение к корням:

С полученным затем повторяют те же операции, что и с для получения и, если необходимо, и т.д. до тех пор, пока все получаемые поправки не будут достаточно малы, что свидетельствует о близости приближенного решения к истинному.

2.2. Последовательность выполнения работы

Страницы: 1, 2, 3, 4