На каждом иерархическом уровне используются свои понятия системы и элементов.

На уровне 1 (верхнем уровне) подлежащий проектированию сложный объект S рассматривается как система S из n взаимосвязанных и взаимодействующих элементов

Среди свойств объекта, отражаемых в описаниях на определенном иерархическом уровне, различают свойства систем, элементов систем и внешней среды, в которой должен функционировать объект. Количественное выражение этих свойств осуществляется с помощью величин, называемых параметрами. Величины, характеризирующие свойства системы, элементов системы и внешней среды, называют соответственно выходными, внутренними и внешними параметрами. Например, для электронного усилителя выходными параметрами являются полоса пропускания, коэффициент усиления; внутренними параметрами - сопротивления резисторов, емкости конденсаторов, параметры транзисторов; внешними параметрами - сопротивление и емкость нагрузки, напряжение источников питания.

Обозначим количества выходных Si. Каждый из элементов в описании уровня 1 представляет собой сложный объект, который, в свою очередь, рассматривается как система Si на уровне 2. Элементами систем Si являются объекты Sij, где j=1,2…, mi (mi - количество элементов в описании системы Si). Подобное разделение продолжается вплоть до получения на некотором уровне элементов, описания которых дальнейшему делению не подлежат. Такие элементы по отношению к объекту S называют базовыми элементами.

1.1.2. Классификация параметров объектов

Внутренних и внешних параметров через m, n, l, а векторы этих параметров соответственно через Y=(y1,y2,…,ym), X=(x1,x2,…,xn), Q=(q1,q2,…,ql). Свойства системы зависят от внутренних и внешних параметров, т.е. имеет место функциональная зависимость:

Y=F(X,Q). (1.1)

1.1.3. Структура и математическая модель объекта

Структура объекта - это перечень типов элементов, составляющих объект, и способа связи элементов между собой в составе объекта.

Математическая модель (ММ) технического объекта - это система математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств и т.п.) и отношений между ними, отражающая некоторые свойства технического объекта. Наличие ММ позволяет легко оценивать выходные параметры по известным значениям векторов X и Q. Такая система соотношений (1) является примером математической модели объекта. Однако, существование зависимости (1.1) не означает, что она известна разработчикам и может быть представлена именно в таком явном относительно вектора Y виде. Как правило, ММ в виде (1.1) удается получить только для очень простых объектов. Типичной является ситуация, когда математическое описание процессов в проектируемом объекте задается моделью в форме системы уравнений.

Ряд технических объектов в установившемся (стационарном) состоянии (режиме) может быть описан системами линейных алгебраических уравнений.

Такого рода объекты (например, объект, показанный на рис 1.1) относятся к классу линейных стационарных объектов.

Рис. 1.1. Структура линейного стационарного объекта

Структура данного объекта определяется двумя сумматорами S1 и S2, четырьмя линейно- усилительными блоками а11 , а12 , а21 , а22 и системой связей между ними.

Математическая модель такого рода объекта представляет собой систему линейных алгебраических уравнений и имеет вид:

а11х1 +а12х2=в1;

а21х1 +а22х2=в2;

1.1.4. Анализ объектов

Задача анализа объектов состоит в определении свойств и исследовании работоспособности объекта по его описанию.

При одновариантном анализе задаются значения внутренних и внешних параметров, требуется определить значения выходных параметров объекта.

При одновариантном анализе задается также некоторая точка в пространстве внутренних параметров и требуется в этой точке определить значения выходных параметров. Подобная задача обычно сводится к однократному решению уравнений, составляющих математическую модель, что и обусловливает название этого вида анализа.

Многовариантный анализ заключается в исследовании свойств объекта в некоторой области пространства внутренних параметров. Такой анализ требует многократного решения систем уравнений (многократного выполнения одновариантного анализа).

Задача, ставящаяся при анализе (исследовании) такого рода объектов (рис 1.1), может иметь следующий вид: необходимо определить значения входных воздействий х1 и х2 при заданной структуре объекта, определяемой системой связей, и заданных значениях внутренних параметров, при которых выход объекта имел бы требуемые выходные значения в1 и в2 .

1.1.5. Решение систем линейных алгебраических уравнений

1.1.5.1. Постановка задачи. Система n линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными

имеет вид:

(1.2)

- неизвестные числа, подлежащие определению;

- коэффициенты системы;

- свободные члены.

Первый индекс коэффициента указывает номер уравнения, в котором фигурирует данный коэффициент (номер строки), а второй - номер неизвестного, при котором этот коэффициент поставлен (номер столбца). Коэффициенты системы, как и свободные члены, предполагаются известными.

Решением системы (или ее корнями) называется всякая совокупность чисел, , которая, будучи подставлена в систему вместо неизвестных , обращает все уравнения системы в тождества. Отметим, что совокупность чисел составляет одно решение системы, а не n решений.

В матричной форме система может быть записана как

(1.3)

или в обобщенной форме:

(1.4)

1.1.5.2. Классификация методов решения. На практике применяют два типа методов:

- прямые или точные;

- итерационные.

Точные - это методы, которые дают решение задачи с помощью конечного числа элементарных арифметических операций. Число необходимых для решения задач вычислительных операций зависит только от вида вычислительной схемы и от порядка матрицы. К точным методам относится метод Гаусса.

Решение СЛАУ итерационными методами получается как предел последовательных приближений, вычисляемых некоторым единообразным процессом. Число арифметических операций в данном случае зависит от вычислительной схемы, порядка матрицы и от требуемой точности. Примером итерационных методов является метод простой итерации.

На практике чаще всего применяются прямые методы (метод Гаусса). Однако, при решении на ЭВМ систем высокого порядка (более 200 уравнений в системе), предпочтительными являются итерационные методы.

Реализация решения задачи анализа линейного стационарного объекта может быть осуществлена с помощью средств матричной алгебры пакета MathCAD.

1.2. Последовательность выполнения работы

1. Согласно номеру варианта (две последние цифры номера зачетной книжки) выбрать из табл.1.1. значения параметров для линейного объекта.

По формулам

в1і= в1+h(і-1) ;

в2і= в2+h(і-1) ;

2. Для і=1,….5 определить значения коэффициентов, определяющих выходные значения объекта для пяти рассматриваемых случаев.

3. Составить и отладить программу решения системы линейных уравнений согласно Приложению 1.1 и для полученных в пункте 2 значений выхода найти пять наборов значений входных переменных х1 и х2 .

4. По результатам просчета на ПЭВМ построить таблицы значений входа (х1 и х2) при заданных значениях выхода ( в1 и в2).

5. Построить графики изменения значений х1 и х2 в зависимости от значений в1 и в2.

Таблица 1.1

Страницы: 1, 2, 3, 4