обращения функции g+ в Rn . При n = 3 формулы А.С. Денисюка и формулы,
получаемые изложенным способом из формулы Туя, совпадают.
Выше были получены формулы, позволяющие строить численные алгоритмы
восстановления функции f(x) = f(x1, x2, x3) по ее лучевому преобразованию
[pic]
Далее мы будем опускать символ f и использовать обозначение [pic].
При фиксированном S функция [pic]является функцией в трехмерном
пространстве, но в силу ee однородности существуют поверхности, такие что
[pic]полностью определяется своими значениями на них (поверхности
расположения приемников излучения).
Исходные данные в виде функции [pic]удобно использовать, если матрица
приемников расположена на сфере. Однако в реальных ситуациях матрицу
приемников обычно располагают на плоскости или поверхности цилиндра. В этих
случаях удобно использовать несколько иной вид исходных данных.
Плоский детектор.
Мы будем предполагать, что для источника, находящегося в точке S = (s1,
s2, s3), исходные данные регистрируются в плоскости P, определяемой
уравнением xs1 + ys2 + zs3 = -Ѕ SЅ . Плоскость P, определяется следующими
условиями:
плоскость P перпендикулярна лучу, соединяющему источник с началом
координат;
плоскость P проходит через точку S= (s1, s2, s3.)
Расстояние D между плоскостью регистрации и источником равно удвоенному
расстоянию от источника до начала координат. В плоскости регистрации будем
использовать прямоугольную систему координат (p1, p2), начало которой
находится в точке пересечения с лучем, соединяющим источник с точкой (0, 0,
0). Таким образом, если источник находится в точке S = (s1, s2, s3), то
начало системы координат (p1, p2) в плоскости наблюдения находится в точке
с трехмерными координатами -s1, -s2, -s3 =- S.
При реконструкции в конусе лучей наиболее распространенными примерами
траекторий источника являются винтовая линия и совокупность двух
окружностей лежащих в пересекающихся плоскостях.
Траектория в виде двух окружностей.
Рассмотрим окружность, лежащую в плоскости z =0.
Направление оси p2 в плоскости регистрации будет совпадать с направлением
оси z.
Ось p1 системы координат возьмем на линии пересечения плоскости
регистрации с плоскостью, содержащей окружность, по которой движется
источник. Для окончательного определения системы координат необходимо
выбрать одно из двух возможных направлений оси p1. Если s3 = 0, s1 = r cosl
, s2 = r sinl (источник движется в плоскости z =0), то положительный
единичный вектор на оси p1 выберем так, чтобы он совпадал с вектором (cos(l
+p /2), sin(l +p /2), 0) = (-sinl , cosl , 0) = (-s2/Ѕ SЅ , s1/Ѕ SЅ , 0).
Точка, имеющая в плоскости регистрации координаты (p1, p2), имеет
следующие пространственные координаты:
x = -p1 sinl - r cosl = -p1 s2 /Ѕ SЅ - s1 ,
y = p1 cos l - r sinl = p1 s1 /Ѕ SЅ - s2 , z = p2.
В случае плоского детектора, исходными данными являются интегралы по
лучам, соединяющим точки (p1, p2) в плоскости регистрации с источником S.
Регистрируемая функция gr(p1, p2, l ) есть интеграл от искомой функции
f(x) = f(x1, x2, x3) вдоль луча исходящего из точки S = (s1, s2, s3) =
(rcosl , r sinl , 0) в направлении точки
P = (-p1 sin l - rcosl , p1 cosl - r sinl , p2 ) = (-p1 s2/Ѕ SЅ v s1, p1
s1/Ѕ SЅ v s2, p2).
Интегральная форма регистрируемой функции имеет вид:
При t = 0 луч проходит через точку S = (rcosl , rsinl , 0), при t = 1 v
через точку P = (p1, p2) = (-p1 sin l - rcosl , p1 cosl - r sinl , p2).
Итак, мы имеем соотношение между функциями gr(p1, p2, l ) и [pic]:
[pic],
[pic].
Наряду с обозначением gr(p1, p2, l ), мы будем использовать обозначения
gr(p1, p2, S(l )), gr(p1, p2, S) и gr(P, S) , здесь S(l ) точка на
траектории источника, соответствующая параметру l , P = (p1, p2). Мы
выразили функцию gr(p1, p2, l ) через функцию [pic]= g+ (x , l ).
В формуле обращения лучевого преобразования используется функция g+ (x ,
l ) =[pic] для того, чтобы использовать gr(p1, p2, l ), регистрируемую в
случае плоского детектора, нужно выразить g+ (x , l ) используя gr(p1, p2,
l ).
Для дальнейшего нам потребуются координаты (p1, p2) (в системе координат
плоскости регистрации) точки пересечения плоскости регистрации данных с
лучем (S +tx ) = (s1 + tx 1, s2 + tx 2, s3 + tx 3). Эти координаты имеют
вид:
Теперь мы можем выразить [pic]используя gr(p1, p2, l ):
[pic]= g+ (x , l ) = gr(2 Ѕ S(l )Ѕ (s2(l )x 1 v s1(l )x 2) /[pic], -2Ѕ
S(l )Ѕ 2x 3 /[pic],l ),
если [pic]< 0, [pic]= 0, если [pic]і 0.
Итак, мы имеем следующее соотношение между функциями:
g+ (P, l ) и [pic]= g+ (x , l ); P = (p1, p2), x = (x 1, x 2, x 3,);
[pic]= g+ (x , l ) =
= gr(2 Ѕ S(l )Ѕ (s2(l )x 1 v s1(l )x 2) /[pic], - 2Ѕ S(l )Ѕ 2x 3 /[pic],l
),
если [pic]< 0,
[pic]= 0, если [pic]і 0.
При переходе от функции g+ (x , l ) = [pic]к функции gr (P, S)
интегрирование по окружности S(l ) в трехмерном пространстве заменяется на
интегрирование по прямым линиям в плоскости регистрации. Отметим, что
формулы обращения лучевого преобразования, использующие интегрирование
вдоль прямых в плоскости регистрации.
4.3 Элементы теории обобщенных функций в применении к задачам
обращения лучевого преобразования
Обобщенная функция это непрерывный линейный функционал на пространстве К
всех функций a (x), имеющих производные всех порядков и финитный носитель
(свой для каждой из функций ? (x)). Любая регулярная интегрируемая функция
f(x) задает линейный функционал (f, a ):
[pic]. (2.2.1)
Однако на пространстве функций K существуют непрерывные линейные
функционалы, которые не могут быть заданы с помощью регулярных
интегрируемых функций, наиболее известными примерами таких функционалов
являются ?-функция и ее производные. Другим широко известным примером
является функционал, основанный на функции (1/x)dx. Функция 1/x x является
регулярной, однако она не является интегрируемой. При задании
соответствующего функционала интеграл
[pic](2.2.2)
понимается в смысле главного значения:
Такое понимание интеграла используется при определении преобразования
Гильберта от функции ? (x) как свертки с функцией 1/xx.
.
Преобразование Гильберта используется, в частности, в одной из формул
обращения преобразования Радона в двумерном пространстве. Эта формула
обычно приводится в руководствах по компьютерной рентгеновской томографии.
Однако метод свертки и обратного проецирования, часто используемый при
построении численных алгоритмов томографической реконструкции, основан на
несколько другом виде формулы обращения преобразования Радона. В этом
методе по существу используется свертка проекционных данных
последовательностью функций сходящихся к 1/xx2 в смысле обобщенных функций.
Линейный функционал, соответствующий функции 1/xx2, или, что то же самое,
обобщенная функция 1/xx2 определяется формулой [19]
[pic](2.2.3)
Интеграл в (2.2.3) сходится в обычном смысле для любой функции a (x) из
пространства основных, и даже из более широкого класса, функций.
В формулах обращения преобразования Радона используется свертка данных с
функцией 1/xx2. Свертка обобщенных функций определяется следующим образом.
Пусть заданы два функционала f и g . Действие функционала f *g
являющегося их сверткой, на функцию a из пространства основных задается
формулой
(f *g, a )= (fx, gy, a (x + y))). (2.2.4)
Здесь gy означает, что функционал действует на функцию a , как функцию
переменной y, а функционал f действует на полученную функцию переменной x.
Если функционалы f и g можно задать регулярными функциям, то функционал
свертки определенный формулой (2.2.4) можно задать функцией, являющейся
сверткой соответствующих функций в обычном смысле.
Здесь следует сделать одно замечание. Даже если функция одной переменной
a (t ) имеет финитный носитель, функция двух переменных a (x + y) не
является функцией с финитным носителем. Это означает, что существование
функционала f *g для конкретных функционалов f и g или необходимо
доказывать. Известно, что для существования функционала свертки,
достаточно, чтобы один из функционалов имел финитный носитель.
Если рассматривать задачи томографии, то там с функцией 1/xx2
сворачиваются исходные данные, которые регулярны и имеют финитный носитель.
Можно показать также, что необходимая свертка выражается формулой:
S(r, j ) = I(r, j ) * (-1/p r2 ) =
[pic](2.2.5)
В реальных ситуациях функция I(r, j ) известна в некотором дискретном
множестве точек. Для того, чтобы использовать формулу (2.2.4) нужно
построить аппроксимацию функции I(r, j ), такую что интеграл в правой части
имеет смысл. Интеграл (2.2.4) заведомо сходится, если функция I(r, j )
принадлежит множеству K, то есть имеет финитный носитель и является
бесконечно дифференцируемой.
Однако аппроксимация данных бесконечно дифференцируемой функцией может
оказаться громоздкой при построении численных алгоритмов. Кроме того,
использование бесконечно дифференцируемых функций может приводить к
заглаживанию границ областей с резко отличающимися плотностями. Для
сходимости интеграла в (2.2.5) достаточно, чтобы функция I(r, j ) имела в
каждой точке конечные односторонние производные первого порядка по
переменной r. Это позволяет, в частности, использовать кубические сплайны
для построения аппроксимации функции I(r, j ).
Основными операциями с обобщенными функциями, используемыми в задачах
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
