молочной железе, остается прерогативой рентгенографии на рентгеновской
пленке.
[pic] Рис. 6 Цифровая люминесцентная рентгенография.
1-генератор; 2-рентгеновская трубка; 3-пациент; 4-
запоминающая
пластина; 5-транспортирующее устройство; 6-аналого-
цифровой
преобразователь; 7-накопитель изображений;8-
видеопроцессор; 9-сеть;
10-цифро-аналоговый преобразователь; 11-монитор; 12-снимок;
13-рентгенолог.
3.5. Селеновая рентгенография.
Селеновые детекторы представляют собой новейшую систему цифровой
рентгенографии (рис. 7). Основной частью такого устройства служит детектор
в виде барабана, покрытого слоем аморфного селена. Селеновая
рентгенография в настоящее время используется только в системах
рентгенографии грудной клетки. Характерная для снимков грудной клетки
высокая контрастность между легочными полями и областью средостения при
цифровой обработке сглаживается, не уменьшая при этом контрастности
деталей изображения. Другим преимуществом селенового детектора является
высокий коэффициент отношения сигнал/шум.
[pic]
Рис.5 Цифровая селеновая рентгенография.
1-генератор; 2-рентгеновская трубка; 3-пациент; 4-селеновый
барабан;
5-сканирующие электроды+усилитель; 6-аналого-цифровой
преобразо-
ватель; 7-накопитель изображений; 8-видеопроцессор; 9-
сеть;
4. Математические основы компьютерной томографии
Исследования внутренней структуры объектов с помощью рентгеновского
излучения широко распространены и хорошо известны. Ослабление
рентгеновского излучения вдоль луча, соединяющего источник и приемник,
является интегральной характеристикой плотности исследуемого объекта. С
математической точки зрения речь идет о задаче восстановления функции по ее
интегральным значениям вдоль некоторого семейства лучей. Различные лучи
соответствуют различным (относительно объекта) положениям источника и
приемника излучения. Такая модель является простейшей, но во многих случаях
хорошо отражает реальную ситуацию и подтверждается исследованиям реальных
тестовых объектов. Плотность реальных объектов является функцией трех
пространственных координат. Однако в классической компьютерной томографии
трехмерный объект представляют в виде набора тонких срезов. Внутри каждого
среза плотность считают функцией только двух переменных. При исследовании
фиксированного среза систему источник-приемник устраивают таким образом,
что регистрируются данные только по лучам, лежащим в тонком слое
относительно центральной плоскости среза. Таким образом приходят к задаче
восстановления функции двух переменных по ее интегральным значениям вдоль
некоторого семейства лучей Для регистрации в веерной схеме, чаще
встречающейся в реальных томографах, используется линейка детекторов,
различные положения источника относительно объекта обеспечиваются вращением
системы регистрации или объекта.
4.1. Математическая постановка задачи рентгеновской компьютерной
томографии, преобразование Радона и формулы обращения.
В компьютерной рентгеновской томографии трехмерный объект представляется
обычно в виде набора тонких срезов. Для восстановления плотности среза
решается задача обращения двумерного преобразования Радона. Преобразованием
Радона функции f(x, y) называется функция, [pic]определяемая равенством
[pic].
Обычно для восстановления функции двух переменных по ее интегралам вдоль
прямых используется метод свертки и обратного проецирования. В этом методе
формула обращения преобразования Радона записывается без явного
использования обобщенных функций. Однако наиболее общий и естественный вид
формулы обращения преобразования Радона приобретают при использовании
аппарата обобщенных функций. Далее будет рассмотрено соотношение между
методом обобщенных функций и методом свертки и обратного проецирования.
Перед изложением собственно численного алгоритма будет дан вывод формулы
обращения, позволяющий естественным образом перейти к построению алгоритма.
В силу равенства
функция [pic]при любом фиксированном p определяется своими значениями
при [pic]. Это позволяет нам перейти к функции
Здесь L(r, ?) - прямая, ортогональная лучу, имеющему угол ? ?
положительным направлением оси X, и отстоящая от начала координат на
расстояние r (r[pic] 0), при r < 0 L(r, ?) - прямая, симметричная
относительно начала координат прямой L(|r|, ?). Выразим f(x, y) через I(r,
?).
Поскольку
[pic],
где [pic]- преобразование Фурье функции f, то, переходя к полярным
координатам после элементарных преобразований интеграла по ? на интервале
[?, 2?], ?олучаем
Введем функцию S(z, ?), полагая
При фиксированном ? функция S(z, ?) ?сть обратное одномерное
преобразование Фурье от произведения [pic]и |r|. Для [pic]справедливо
равенство
Обратное преобразование Фурье от |r| есть обобщенная функция v1/?z2.
Переходя от преобразования Фурье произведения к свертке, получаем S(z,?) =
I(z,?)[pic](v1/?z2). Используя регуляризацию функции 1/z2 [19] приходим к
выражению
[pic]. (1.5.1)
Таким образом, для f(x, y) справедлива формула
[pic], (1.5.2)
позволяющая выразить искомую функцию через наблюдаемые данные.
Прежде чем перейти к дискретному варианту сделаем ряд замечаний,
связанных с обоснованием корректности рассматриваемых алгоритмов в реальных
ситуациях. Обобщенные функции являются функционалами над пространством
бесконечно дифференцируемых быстро убывающих функций. Однако при построении
аппроксимаций исходных реальных данных по отсчетам, заданным в дискретных
точках, желательно иметь менее жесткие требования к гладкости
аппроксимирующих функций. Свертка с обобщенными функциями, в частности, с
функцией 1/z2, может быть определена для значительно менее гладких функций,
это очень важно при доказательстве корректности применения численных
алгоритмов, получаемых с помощью аппарата обобщенных функций, к реальным
данным.
Перейдем к дискретному варианту. Будем предполагать, что f(x, y) = 0 вне
круга радиуса R с центром в нуле. Исходными данными являются величины I(ri,
?i), здесь ri v отсчеты в интервале [-R, R], 1 ? i ? M - отсчеты в интервал
[0, ?], 1 ? j ? N. Если теперь при заданных значениях функции I(r, ?) ?
отсчетах (ri, ?i) построить аппроксимацию I(r, ?) так, что для S(z,?)
?ыполняется равенство (1.5.1), то используя (1.5.1) и (1.5.2) можно
получить приближение к f(x, y). В дальнейшем будем предполагать, что
отсчеты на осях r и ? являются равноотстоящими.
При каждом фиксированном ?j определим [pic]следующим образом.
1. Функция [pic]имеет непрерывную первую производную по r.
2. В узлах решетки аппроксимирующая функция совпадает с заданными
отсчетами, а ее производная в этих точках равна выборочной. То есть
справедливы равенства: [pic], [pic], здесь h = 2R/(M-1), I(r0,?j) =
I(rM+1, ?j) = 0, i = 1, -, M.
3. На интервале [ri, ri+1] функция [pic]есть полином третьей степени от
r.
Перечисленные условия позволяют в явном виде получить коэффициенты
соответствующего сплайна. Непосредственными вычислениями можно получить,
что
где
Q(x) = Q(-x), Q(x) = 0 при |x|> 2h, h=ri+1-ri.
Функция Q(x) имеет разрывы второй производной, но модуль второй
производной интегрируем, используя это обстоятельство можно показать, что
свертка S0(z) = Q(x) [pic](-1/?z2) выражается формулой (1.5.1).
Непосредственными вычислениями получаем
Графики функций Q(x) и S0(z) для различных значений h представлены на
рис. 1 и рис. 2.
[pic][pic]
Таким образом,
Заменяя в (1.5.2) S на [pic]и интеграл частной суммой, получаем f*(x, y)
- приближение к функции f(x, y),
[pic]. (1.5.3)
Как уже отмечалось выше, обычно в компьютерной томографии используется
метод свертки и обратного проецирования. Рассмотрим соотношение между этим
методом и методом, изложенным в настоящем параграфе. Используя
интегрирование по частям, свертку с обобщенной функцией 1/z2 можно заменить
дифференцированием и сверткой с 1/z (преобразованием Гильберта).
То есть функцию
S(z, ?) = I(z, ?) [pic]1/z2
можно представить в виде
S(z, ?) = Iz/(z, ?) [pic]1/z
При построении численных алгоритмов вместо обобщенной функции 1/z или,
что то же самое, интеграла в смысле главного значения, в методе свертки и
обратного проецирования используют некоторую последовательность регулярных
функций pА(z), сходящуюся к 1/z (в смысле обобщенных функций) при A
стремящемся к бесконечности. Используя интегрирование по частям,
дифференцирование переносят на функции pА(z) и таким образом получают
регулярные функции, сходящиеся к 1/z2, то есть свертка с обобщенной
функцией 1/z2 заменяется последовательностью сверток с регулярными
функциями p/А(z).
Таким образом, шаг свертки в классическом методе можно интерпретировать
следующим образом: исходные данные аппроксимируются ступенчатой функцией и
осуществляется свертка с регулярной функцией, являющейся приближением к
обобщенной функцией 1/z2.
В методе настоящего параграфа исходные данные аппроксимируются более
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
