она будет колебаться по закону:
[pic].
[pic]
Рисунок 2.1.1.
Амплитуда колебаний в случае отсутствия затухания процесса будет такой
же как и амплитуда точки О. Часы или секундомер №2 включаются тогда, когда
колебательный процесс дойдет до точки В (т.е. когда начинает колебаться
точка В), и отсчитывают время [pic]. Моменты времени t и [pic][pic]связаны
между собой соотношением [pic] или [pic]. Расстояние между точками О и В
обозначим [pic]. Фазовая скорость волны равна [pic], тогда [pic]. Учитывая
соотношения для [pic] и [pic] и формулы [pic] и [pic], можно записать
уравнение колебаний точки В в разных видах:
Аналогично уравнению колебаний точки В запишем уравнение колебаний любой
точки среды, расположенной на расстоянии y от источника колебаний:
[pic],
где [pic] - волновое число (см. определение выше).
Это уравнение и есть уравнение для смещения [pic] любой точки
пространства в любой момент времени, т.е. уравнение бегущей волны, где А
– амплитуда, величина [pic] - фаза волны, которая в отличии от фазы
колебаний зависит и от времени «t», и от расстояния «y» колеблющейся
точки от источника колебаний.
Вернемся к разделению волн по форме фронта волны и к понятию луча,
как направления распространения колебательного процесса. Учтем, что в
изотропной среде лучи перпендикулярны фронту и имеют вид прямых линий.
Тогда уравнение бегущей волны, полученное выше, есть уравнение плоской
бегущей волны, т.е. когда фронт волны – плоскость.
Уравнение плоской отраженной волны в одномерном пространстве легко
получить, если представить ее как бегущую волну в отрицательном
направлении оси ОУ, что приведет к замене в уравнении бегущей волны
координаты «y» на «-y»:
Упругая волна называется синусоидальной или гармонической, если
соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. Так,
рассмотренные выше бегущая и отраженная волны являются гармоническими
волнами.
6. Волновое уравнение.
Когда мы рассматривали колебания, то для любой колебательной системы
получали дифференциальное уравнение, для которого соответствующее уравнение
колебаний являлось решением. Аналогично уравнение бегущей и отраженной
волны являются решениями дифференциального уравнения второго порядка в
частных производных, называемого волновым уравнением и имеющего вид:
где [pic] - фазовая скорость волны.
Уравнения бегущей и отраженной волн и волновое уравнение представлены
для случая одного измерения, т.е. распространения волны вдоль оси ОУ. В
волновое уравнение входят вторые частные производные по времени и
координате от смещения потому, что [pic] есть функция двух переменных t и
y.
7. Скорость и ускорение колеблющейся точки. Относительное смещение точек
среды.
Если смещение любой точки среды с координатой y в момент времени t
задано уравнением:
то скорость этой точки есть величина [pic], а ускорение - [pic]:
§ 1.3. Энергия упругих волн.
В среде распространяется плоская упругая волна и переносит энергию,
величина которой в объеме [pic]равна:
где [pic]- объемная плотность среды.
Если выбранный объем записать как [pic], где S – площадь его
поперечного сечения, а [pic] - его длина, то среднее количество энергии,
переносимое волной за единицу времени через поперечное сечение S,
называется потоком [pic] через его поверхность:
[pic][pic].
Количество энергии, переносимое волной за единицу времени через
единицу площади поверхности, расположенной перпендикулярно направлению
распространения волны, называется плотностью потока энергии волны.
Эта величина определяется соотношением:
где [pic] -объемная плотность энергии волны, [pic] - фазовая скорость
волны. Так как фазовая скорость волны [pic] - вектор, направление которого
совпадает с направлением распространения волны, то можно величине плотности
потока энергии I придать смысл векторной величины:
Величина [pic], вектор плотности энергии волны, впервые была введена
Н.А. Умовым в 1984 году и получила название вектора Умова. Подобная
величина для электромагнитных волн называется вектором Умова - Пойнтинга.
Интенсивностью волны называется модуль среднего значения вектора
Умова [pic].
§ 1.4. Принцип суперпозиции волн. Групповая скорость.
Принцип суперпозиции (наложения) волн установлен на опыте. Он состоит
в том, что в линейной среде волны от разных источников распространяются
независимо, и накладываясь, не изменяют друг друга. Результирующее смещение
частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений,
которые частица получит, участвуя в каждом из слагаемых волновых процессов.
Согласно принципу суперпозиции накладываться друг на друга без
взаимного искажения могут волны любой формы. В результате наложения волн
результирующее колебание каждой частицы среды может происходить по любому
сложному закону. Такое образование волн называется волновым пакетом.
Скорость движения волнового пакета не совпадает со скоростью ни с одной
из слагаемых волн. В этом случае говорят о скорости [pic] волнового
пакета. Скорость перемещения максимума группы волн (волнового пакета)
называется групповой скоростью. Она равна скорости переноса энергии
волнового пакета.
На практике мы всегда имеем дело с группой волн, так как
синусоидальных волн, бесконечных в пространстве и во времени, не
существует. Любая ограниченная во времени и пространстве синусоидальная
волна есть волновой пакет (его называют цуг волны). Групповая скорость
такого пакета совпадает с фазовой скоростью бесконечных синусоидальных
волн, результатом сложения которых он является.
В общем виде связь между групповой и фазовой скоростями имеет вид:
§ 1.5. Интерференция волн. Стоячие волны.
1. Интерференцией волн называется явление наложение двух и более
волн, при котором в зависимости от соотношения между фазами этих волн
происходит устойчивое во времени их взаимное усиление в одних точках
пространства и ослабление в других.
В пространстве всегда найдутся такие точки, в которых разность фаз
складываемых колебаний равна величине [pic], где k – целое число, т.е.
волны (от разных источников) приходят в такие точки в фазе. В них будет
наблюдаться устойчивое, неизменно продолжающееся все время усиление
колебаний частиц. Найдутся в пространстве, где распространяется несколько
волн, и такие точки, где разность фаз будет равна [pic], т.е. волны
приходят в эти точки в противофазе. В таких точках пространства будет
наблюдаться устойчивое ослабление колебаний частиц.
Устойчивая интерференционная картина возникает только при наложении
таких волн, которые имеют одинаковую частоту, постоянную во времени
разность фаз в каждой точке пространства. Волны, удовлетворяющие этим
условиям и источники, создающие такие волны, называются когерентными.
Плоские синусоидальные волны, частоты которых одинаковы, когерентны всегда.
2. Запишем условия максимумов и минимумов при интерференции.
Когерентные точечные источники [pic] и [pic]испускают волны по всем
направлениям. До точки наблюдения М расстояние от первого источника [pic],
а от второго - [pic].
Колебания точки М под действием волн от двух источников[pic] и [pic]
описываются уравнениями:
[pic], [pic].
Амплитуда результирующего колебания в точке М определится следующим
образом (см. раздел «Сложение колебаний»):
Амплитуда колебаний точки М максимальна ([pic]), если
[pic], где [pic]
Величина [pic]называется разностью хода двух волн.
Условие максимума при интерференции имеет вид:
Если целое число волн укладывается на разности хода двух волн, то при их
сложении наблюдается интерференционный максимум.
Амплитуда колебаний точки М минимальна ([pic]), если
[pic], ([pic]).
Условие минимума при интерференции имеет вид:
Если нечетное число полуволн укладывается на разности хода двух волн,
то при их сложении наблюдается интерференционный минимум.
3. Простейший случай интерференции наблюдается при наложении бегущей
и отраженной волн, что приводит к образованию стоячей волны. Уравнения
бегущей и отраженной волны имеют вид:
[pic], [pic]
Суммарное смещение [pic] частицы среды, находящейся на расстоянии y
от источника колебаний, равно сумме смещений [pic] и [pic]:
Это и есть уравнение стоячей волны. Величина [pic] - амплитуда, а
([pic]) - фаза стоячей волны. Можно сказать, что частицы в стоячей волне
имеют одну фазу колебаний. Амплитуда колебаний частиц в стоячей волне
зависит от их координат (расстояний до источника колебаний), но не зависит
Страницы: 1, 2, 3
