Рассмотрим другой случай. Чтобы результаты преобразования не приводили к арифметическому переполнению для точки с координатами (80000, 40000, 1000) можно взять, например, h = 0.001. В результате получим (80, 40, 1).
Приведенные примеры показывают полезность использования однородных координат при проведении расчетов. Однако основной целью введения однородных координат в компьютерной графике является их несомненное удобство в применении к геометрическим преобразованиям.
При помощи троек однородных координат и матриц третьего порядка можно описать любое аффинное преобразование плоскости.
Считая, h = 1, сравним две записи:
a g 0
(x * y * 1) = (x y 1) b d 0 (3.4)
l m 1
Нетрудно заметить, что после перемножения выражений, стоящих в правой части последнего соотношения, мы получим формулы (2.1) и (2.2) и верное числовое равенство 1 = 1. Тем самым сравниваемые записи можно считать равносильными.
Элементы произвольной матрицы аффинного преобразования не несут в себе явно выраженного геометрического смысла. Поэтомучтобы реализовать то или иное отображение, то есть найти элементы соответствующей матрицы по заданному геометрическому описанию, необходимы специальные приемы. Обычно построение этой матрицы в соответствии со сложностью поставленной задачи и с описанными выше частными случаями рзбивают на несколько этапов.
На каждом этапе пишется матрица, соответствующая тому или иному из выделенных выше случаев 1 – 4, обладающих хорошо выраженными геометрическими свойствами.
Выпишнм соответствующие матрицы третьего порядка.
А. Матрица вращения (rotation)
cos j sin j 0
[ R ] = -sin j cos j 0 (3.5)
0 0 1
Б. Матрица растяжения-сжатия (dilatation)
a 0 0
[ D ] = 0 d 0 (3.6)
В. Матрица отражения (reflection)
1 0 0
[ M ] = 0 -1 0 (3.7)
Г. Матрица переноса (translation)
[ T ] = 0 1 0 (3.8)
Рассмотрим примеры аффинных преобразований плоскости.
Пример 1. Построить матрицу поворота вокруг точки А (a, b) на угол j (рис. 9).
А
0
Y
X
Рис. 8
1-й шаг. Перенос на вектор – А (-a, -b) для смещения центра поворота с началом координат;
[ T-A ] = 0 1 0 (3.9)
-a -b 1
матрица соответствующего преобразования.
2-й шаг. Поворот на угол j;
[ Rj ] = -sin j cos j 0 (3.10)
3-й шаг. Перенос на вектор А (a, b) для возвращения центра поворота в прежнее положение;
[ TA ] = 0 1 0 (3.11)
a b 1
Перемножим матрицы в том же порядке, как они выписаны:
[ T-A ] [ Rj ] [ TA ].
В результате получим, что искомое преобразование (в матричной записи) будет выглядеть следующим образом:
(x* y* 1) = (x y 1) -sin j cos j 0 (3.12)
-a cos j + b sin j + a -a sin j - b cos j + b 1
Элементы полученной матрицы (особенно в последней строке) не так легко запомнить. В то же время каждая из трех перемножаемых матриц по геометрическому описанию соответствующего отображения легко строится.
Пример 2. Построить матрицу растяжения с коэффицентами растяжения a вдоль оси абсцисс и b вдоль оси ординат и с центром в точке А (a, b).
1-й шаг. Перенос на вектор –А (-a, -b) для совмещения центра растяжения с началом координат;
[ T-A ] = 0 1 0 (3.13)
2-й шаг. Растяжение вдоль координатных осей с коэффицентами a и b соответственно; матрица преобразования имеет вид
[ D ] = 0 d 0 (3.14)
3-й шаг. Перенос на вектор А (a, b) для возвращения центра растяжения в прежнее положение; матрица соответствующего преобразования:
[ TA ] = 0 1 0 (3.15)
Премножив матрицы в том же порядке
[ T-A ] [ D ] [ TA ],
получим окончательно
( x* y* 1) = (x y 1) 0 d 0 (3.16)
(1 - a)a (1 - d)b 1
Рассуждая подобным образом, то есть разбивая предложенное преобразование на этапы, поддерживаемые матрицами [ R ], [ D ], [ M ], [ T ], можно построить матрицу любого аффинного преобразования по его геометрическому описанию.
4. Аффинные преобразования в пространстве
Рассмотрим трехмерный случай (3D) (3-dimension) и сразу введем однородные координаты.
Потупая аналогично тому, как это было сделано в размерности два, заменим координатную тройку (x, y, z), задающую точку в пространстве, на четверку чисел
(x y z 1)
или, более общо, на четверку
(hx hy hz), h = 0.
Каждая точка пространства (кроме начальной точки О) может быть задана четверкой одновременно не равных нулю чисел; эта четверка чисел определена однозначно с точностью до общего множителя.
Предложенный переход к новому способу задания точек дает возможность воспользоваться матричной записью и в более сложных трехмерных задачах.
Любое аффинное преобразование в трехмерном пространстве может быть представленно в виде суперпозиции вращений, растяжений, отражений и переносов. Поэтому вполне уместно сначала подробно описать матрицы именно этих преобразований (ясно, что в данном случае порядок матриц должен быть равен четырем).
А. Матрицы вращения в пространстве.
Матрица вращения вокруг оси абсцисс на угол j:
Страницы: 1, 2, 3, 4
