2.2.1 Метод разложения

Несколько менее трудоемким является метод, основанный на разложении структуры сети относительно какого-нибудь ее элемента (метод разложения Шеннона-Мура). Идея этого метода заключается в том, чтобы свести анализируемую структуру к последовательно-параллельным соединениям и тем самым избежать полного перебора состояний. Для примера рассмотрим сеть простейшей структуры в виде мостика (рис.2.1).

Рисунок 2.1 Метод разложения

Для простоты положим, что узлы этой сети идеально надежны, а ветви имеют конечную надежность рi, i=. Нумерация ветвей приведена на рисунке. Проделаем с элементом под номером 5 ("перемычка" мостика) два опыта - "короткого замыкания", соответствующий исправному состоянию элемента, и "холостого хода", соответствующий его неисправному состоянию. Если перемычка находится в исправном состоянии, что случается с вероятностью p5, то соединяемые ею узлы можно "стянуть" в смысле надежности (см. рис.2.1) и сеть будет иметь вид двух последовательно соединенных и параллельно включенных пар ветвей. Если перемычка находится в неработоспособном состоянии, что случается с вероятностью 1-p5, то оставшаяся сеть будет иметь вид параллельного соединения цепочек.

Таким образом, мы "разложили" сеть относительно элемента 5, в результате чего получили две подсети с числом элементов на единицу меньше, чем в исходной сети. Поскольку обе подсети представляют собой последовательно-параллельные структуры, то, пользуясь формулами (2.3) и (2.4), можно сразу записать искомое выражение для вероятности связности сети относительно узлов r, l, используя для компактности обозначениеqi=1-pi.

Hrl=p5 (1-q1q3) (1-q2q4) +q5 [1- (1-q1q2) (1-q3q4)].

В более сложных структурах может потребоваться неоднократное применение теоремы разложения. Так, на рис.2.2 показано разложение относительно элемента 7 (верхняя строка), а затем по элементу 8 (нижняя строка). Получившиеся четыре подсети имеют последовательно-параллельные структуры и больше не требуют разложений. Легко видеть, что на каждом шаге число элементов в получающихся подсетях уменьшается на единицу а число подсетей, требующих дальнейшего рассмотрения удваивается. Поэтому описанный процесс в любом случае конечен, а число результирующих последовательно-параллельных структур составит 2m, где т - число элементов, по которым пришлось провести разложение. Трудоемкость этого метода можно оценить величиной 2m, что меньше трудоемкости полного перебора, но тем не менее все еще неприемлемо для расчета надежности реальных сетей коммутации.

Рисунок.2.2 Последовательное разложение сети

2.2.2 Метод сечений или совокупности путей

Рассмотрим еще один метод расчета структурной надежности сетей. Предположим, как и ранее, что необходимо определить вероятность связности сети между заданной парой узлов A,B. Критерием исправной работы сети в данном случае является наличие хотя бы одного пути передачи информации между рассматриваемыми узлами. Предположим, что имеется список возможных путей в виде перечня элементов (узлов и направлений связи), входящих в каждый путь. В общем случае пути будут зависимы, поскольку любой элемент может входить в несколько путей. Надежность Rs любого s-ro пути можно вычислить по формуле последовательного соединения Rs=p1sp2s…pts, где pis-надежность i-го элемента s-ro пути.

Искомая надежность HAB зависит от надежности каждого пути и вариантов их пересечений по общим элементам. Обозначим надежность, которая обеспечивается первыми r путями, через Hr. Добавление очередного (r+1) - го пути с надежностью Rr+1, очевидно, приведет к увеличению структурной надежности, которая теперь будет определяться объединением двух событий: исправен хотя бы один из первых r путей или исправен (r+1) - й путь. Вероятность наступления этого объединенного события с учетом возможной зависимости. отказов (r+1) - го и остальных путей

Hr+i=Hr+Rr+i-Rr+1Hr/ (r+1), (2.10)

где Hr/ (r+1) - вероятность исправности хотя бы одного из первых r путей при условии, что исправен (r+1) - й путь.

Из определения условной вероятности Hr/ (r+1) следует, что при ее расчете вероятность исправной работы всех элементов, входящих в (r+1) - й путь, необходимо положить равной единице. Для удобства дальнейших расчетов представим последний член выражения (2.10) в следующем виде:

Rr+1Hr/ (r+1) = Rr+1¤ Hr (2.11)

где символ (¤) означает, что при перемножении показатели надежности всех элементов, входящих в первые r путей и общих с (r+l) - м путем, заменяются единицей. С учетом (2.11) можно переписать (2.10):

∆Hr+1= Rr+1 ¤ Qr (2.12)

где ∆Hr+1=Hr+1-Hr-приращение структурной надежности при введении (r+1) - го пути; Qr=1 - Hr вероятность того, что произойдет одновременный отказ первых r путей.

Учитывая, что приращение надежности ∆Hr+1 численно равно уменьшению ненадежности ∆Qr+1 получаем следующее уравнение в конечных разностях:

∆Qr+1=Rr+1¤ Qr (2.13)

Легко проверить, что решением уравнения (2.13) является функция

Qr= (1-R1) ¤ (1-R2) ¤…¤ (1-Rr) (2.14)

В случае независимых путей операция символического умножения совпадает с обычным умножением и выражение (2.14) аналогично (2.4) дает коэффициент простоя системы, состоящей из параллельно включенных элементов. В общем случае необходимость учета общих элементов путей заставляет производить умножение согласно (2.14) в алгебраическом виде. При этом число членов в результирующей формуле с умножением на каждый очередной двучлен удваивается и окончательный результат будет иметь 2r членов, что эквивалентно полному перебору совокупности всех r путей. Например, при r=10 число членов в окончательной формуле превысит 1000, что уже выходит за рамки ручного счета. С дальнейшим увеличением числа путей довольно быстро исчерпываются и возможности современных ЭВМ.

Однако свойства введенной выше операции символического умножения позволяют резко сократить трудоемкость расчетов. Рассмотрим эти свойства более подробно. Согласно операции символического умножения для показателя надежности pi любого элемента справедливо следующее правило:

pi¤pi=pi. (2.15)

Напомним, что второй сомножитель (2.15) имеет смысл вероятности исправной работы i-го элемента при условии его исправности, которая, очевидно, равна единице.

Для сокращения дальнейших выкладок введем следующее обозначение ненадежности i-го элемента:

=1-pi (2.16)

С учетом (2.15) и (2.16) можно записать следующие простые правила преобразования выражений, содержащих р и р:

pi¤ i=0

¤ =

pi¤pi=pi (2.17)

¤  =

pipj¤  =pipj-pips

-pi=

Для примера использования этих правил при расчете надежности рассмотрим простейшую сеть связи, изображенную на. рис.2.3 Буквы, стоящие у ребер графа, обозначают показатели надежности соответствующих линий связи.

Узлы для простоты будем считать идеально надежными. Предположим, что для связи между узлами А и В можно использовать все пути, состоящие из трех и менее последовательно включенных линий, т.е. следует учесть подмножество путей {μ} = {ab, cdf, cgb, ahf}. Определим приращение надежности, обеспечиваемое каждым последующим путем, по формуле (2.12) с учетом (2.14):

∆Ηr+1=Rr+1¤ (¤1¤…¤) (2.18),

Рисунок.2.3 - Пример сети расчета на ограниченном подмножестве путей

Рисунок 2.4 - Пример сети для расчета надежности по полной совокупности путей, где Ri=1-R1 аналогично (2.16).

Применяя последовательно формулу (2.18) и правила символического умножения (2.17). к рассматриваемой сети, получаем

∆Η1=;

∆Η2=cdf¤ () =cdf*;

∆Η3=cgb¤ (¤) =cgb**;

∆Η4=ahf¤ (¤¤) =ahf**.

При расчете последнего приращения мы использовали правило 4, которое можно назвать правилом поглощения длинных цепей короткими; в данном случае его применение дает b¤cgb=b. Если разрешено использование других путей, например пути cdhb, то не представляет труда рассчитать обеспечиваемое им приращение надежности ∆H5=cdhb¤ (a¤ f¤ g¤ af) = =cdfb*a*f*g. Результирующую надежность сети можно теперь вычислить как сумму приращений, обеспечиваемых каждым из рассмотренных путей:

HR=∆Hi (2.19)

Так, для рассмотренного примера в предположении, что надежность. всех элементов сети одинакова, т.е. a=b=c=d=f=h=g=p, получаем H5=p2+p3 (1-p2) + +2p3 (1-p) (1-p2) +p4 (1-p) 3. При машинной реализации в основу расчета можно также положить формулу (2.13), с учетом того, что

Qr=∆Qi (2.20)

Согласно (2.13) имеем следующее рекуррентное соотношение

Qr+i=Qr-Rr+1¤Qr. (2.21)

При начальном условии Q0=l на каждом последующем шаге из полученного ранее выражения для Qr следует вычесть произведение надежности очередного (r+1) - го пути на это же выражение, в котором только показатели надежности всех элементов, входящих в (r+1) - й путь, нужно положить равными единице.

В качестве примера рассчитаем надежность сети, изображенной на рис.2.4, относительно узлов А и В, между которыми имеется 11 возможных путей передачи информации. Все расчеты сведены в табл.2.1: перечень элементов, входящих в каждый путь, результат умножения надежности данного пути на значение Qr, полученное при рассмотрении всех предыдущих путей, и результат упрощения содержимого третьего столбца по правилам (2.17). Окончательная формула для qAB содержится в последней колонке, если ее читать сверху вниз. В таблице полностью приведены все выкладки, необходимые для расчета структурной надежности рассматриваемой сети.

Таблица 2.1 Результаты расчета надежности сети, изображенной на рис.2.4

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8