Изложенная выше схема построения формул для приближенного вычисления интегралов применима и в многомерном случае

Формулы численного дифференцирования, в основе которых лежит интерполирование, получаются в результате дифференцирования интерполяционных многочленов. Ввиду неустойчивости задачи численнго дифференцирования относительно ошибок использования значений функций в узлах шаг интерполирования должен согласоваться с погрешносьтью значений функций. Поэтому на практике нередки случаи, когда известная на густой сетке функция используется в данной задаче не во всех точках, а на более редкой сетке.

При численном решении интегральных уравнений, известная функция [pic] заменяется в интегральном уравнении каким-либо интерполяционным приближением (интерполяционным алгебраическим многочленом, интерполяционным сплайном и т.д.) с узлами интерполирования [pic], а приближенные значения
[pic] для [pic] находятся из системы, полученной после подстановке вместо независимости переменной x узлов интерполирования [pic]. В случае нелинейных интегральных уравнений приближенные значения [pic] находятся соответственно из нелинейной системы.

Интерполяционная формула- для приближенного вычисления значений функции [pic], основанного вычисления на замене приближаемой функции [pic] более простой в каком- то смысле функцией

[pic]
|[pic] |[pic] |

наперед заданного класса, причем параметры [pic] выбираются так чтобы значения [pic] совпадали с известными заранее значениями [pic] для данного множества [pic]попаро различных значений аргумента: такой способ приближенного представления функций называется интерполированием, а точки [pic], для которых должны выполняться условия
[pic], - узлами интерполяции.

В ряде случаев (например, при интерполировании алгебраическими многочленами) параметры [pic] могут быть явно выражены из системы [pic], и тогда [pic]непосредственно используется для приближенного вычисления значений функции [pic].

Интерполяционный процесс- процесс получения последовательности интерполирующих функций [pic] при неограниченном возрастании числа n узлов интерполирования. Если интерполирующие функции [pic] представлены в виде частных сумм некоторого функционального ряда, то последний иногда называется интерполяционным рядом. Целью построения интерполяционного полинома чаще всего является, по крайней мере в простейших первоначальных задачах интерполирования, приближение в каком- то смысле по средствам интерполирующих функций [pic], о которой или имеется неполная информация, или форма которой слишком сложна для непосредственного использования.

Интерполяционная формула Эверетта:
Интерполяционные формулы Грегори- Ньютона построенные по нисходящим или восходящим разностям, наиболее целесообразно применять в начале или конце таблицы. При этом для достижения высокой степени точности иногда приходится рассматривать разности, отстоящие достаточно далеко от интересующих нас значений функции [pic] или [pic]. Поэтому на средних участках таблицы лучше результаты дают интерполяционные формулы, построенные на базе центральных разностей, то есть разностей, которые ближе всего расположены к центральной сотке, содержащей [pic].

К интерполяционным формулам с центральными разностями относятся формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя, Эверетта и многие другие; формула
Эверетта получила наибольшее распространение, она была получена 1900 г.:

[pic] где [pic]; [pic]; [pic].

Формуле Эверетта так же можно придать форму, наиболее удобную для вычисления:

[pic] если для ее коэффициентов ввести обозначения
[pic] [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] [pic]

Коэффициенты [pic] удобнее всего вычислять по следующей рекуррентной формуле, которая непосредственно вытекает из [pic]:
[pic]; [pic]; [pic]

Таблица разностей:
|x |y |[pic|[pic]|[pic]|[pic]|[pic]|
| | |] | | | | |
|[pi|[pi|[pic|[pic]|[pic]|[pic]|[pic]|
|c] |c] |] | | | | |
|[pi|[pi|[pic|[pic]|[pic]|[pic]|[pic]|
|c] |c] |] | | | | |
|[pi|[pi|[pic|[pic]|[pic]|[pic]|[pic]|
|c] |c] |] | | | | |
|[pi|[pi|[pic|[pic]|[pic]|[pic]|[pic]|
|c] |c] |] | | | | |
|[pi|[pi|[pic|[pic]|[pic]|[pic]| |
|c] |c] |] | | | | |
|[pi|[pi|[pic|[pic]|[pic]| | |
|c] |c] |] | | | | |
|[pi|[pi|[pic|[pic]| | | |
|c] |c] |] | | | | |
|[pi|[pi|[pic| | | | |
|c] |c] |] | | | | |
|[pi|[pi| | | | | |
|c] |c] | | | | | |

Таблицу можно продолжать строить, в нашем случае до последнего [pic], число разностей зависит от количества значений y. Таблица разностей высчитывается
[pic], и так далее(можно заметить такую систему в приведенной выше таблице)

Тестовый пример.

П р и м е р. Функция [pic] задана таблицей на сегменте [pic].
Определим при помощи интерполяции значение [pic].

Р е ш е н и е. По данным значениям функции составляем таблицу разностей (табл. 1), из которых видно, что четвертые разности в данном примере практически равны постоянны, а пятые разности практически равны нулю, и поэтому мы их в дальнейших вычислениях не будем принимать во внимание.

Принимаем [pic]=0,85; [pic]=0,9; [pic]=0,874.

Тогда [pic]=0,8273695; [pic]=0,8075238, и, далее, так как шаг таблицы
[pic]=0,05, то

[pic]

Т а б л и ц а 2
|x |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|0.6|0.9120049|-0.014873|-0.001057|0.000029|0.000002|-0.000000|
|0 | |3 |4 |5 |1 |4 |
|0.6|0.8971316|-0.015930|-0.001027|0.000031|0.000001|0.0000002|
|5 | |7 |9 |6 |7 | |
|0.7|0.8812009|-0.016958|-0.000996|0.000033|0.000001|-0.000000|
|0 | |6 |3 |3 |9 |5 |
|0.7|0.8642423|-0.017954|-0.000963|0.000035|0.000001|0.0000001|
|5 | |9 |0 |2 |4 | |
|0.8|0.8462874|-0.018917|-0.000927|0.000036|0.000001| |
|0 | |9 |8 |8 |5 |[pic] |
|0.8|0.8273695|-0.019845|-0.000891|0.000038| | |
|5 | |7 |0 |3 | | |
|0.9|0.8075238|-0.020736|-0.000852| | | |
|0 | |7 |7 | | | |
|0.9|0.7867871|-0.021589| | | | |
|5 | |4 | | | | |
|1.0|0.7651977| | | | | |
|0 | | | | | | |

Т а б л и ц а 2
|Эверетта |
|[p|[pic] |[pic] |
|ic| | |
|] | | |
|0 |0.52000|0.8227369|
|1 | |5 |
|2 |-0.0632|-0.000927|
| |3 |8 |
| |0.01179|0.0000014|
|0 |0.48000|0.8075238|
|1 | | |
|2 |-0.0615|-0.000891|
| |7 |0 |
| |0.01160|0.0000015|
|[pic][pic] |

Все вычисления по формуле Эверетта представлены в табл. 2.

Все необходимые значения разностей(и самой функции, которые мы в табл. 2 обозначили как разности нулевого порядка [pic]) взяты из табл. 1.
Первые три строки в табл. 2 заполнены значениями [pic] для [pic] и [pic], а последующие три строки соответственно значениями [pic] для [pic] и [pic].
Перемножив (не снимая промежуточных результатов) коэффициенты [pic] на расположенные в той же строке [pic], мы и получим искомое значение функции
[pic], как сумму произведений

Проверка производится непосредственно при помощи степенного ряда для рассматриваемой функции Эверетта [pic] согласно которому получим [pic]

ГЛАВА №2
MAIN[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Заключение

Удалось построить интерполяционный многочлен и вычислить по нему значение функции для заданного значения аргумента. Составлена блок схема алгоритма и программа на языке С++ (Приложение) для вычисления заданного интерполяционного многочлена. В программе предусмотрена возможность ввода любого числа значений функции для чего организованно хранение ее значения при помощи линейного списка.

Список литературы

1. Архангельский Н.А. Вычислительные методы алгебры в приемах и задачах. М.: МАИ, 1976.

2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задачь. М.:

Наука,1988.

3. Васильков Ф.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб. Пособие. М.:

Финансы и статистика, 1999.

4. Фильчаков П.Ф., Справочник по высшей математике. Киев: Наукова думка, 1974.

5. Фильчаков П.Ф., Численные методы. Киев: Наукова думка, 1976.

6. Большая математическая энциклопедия. М.: Олма-Пресс, 2004

7. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.:

Наука, 1970.

8. Тихонов А.Н., Вводные лекции по прикладной математике. М.:

Наука, 1984.

9. Калиткин Н.Н., Численные методы. М.: Наука, 1987.

10. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1984.

-----------------------

Начало

l_msp=NULL;l_fll=NULL;l_f=NULL; w_u=NULL;r_u=NULL;l_u=NULL; w_v=NULL;r_v=NULL;l_v=NULL;

h=FileFunction();

w_f=l_f;

TableMin();

TableMax();

BBEDuTE X=

x

u=UX(x,h);

VX(u);

p=Summa();

«OTBET: » p

Конец

Начало

!feof(in)

l_f==NULL

l_w=w_f

R_f->radr=w_f

Нет

да

fscanf(in,"%f",&w_f->x); fscanf(in,"%f",&w_f->y);

R_f=w_f;

W_f=l_f;

W_f=l_f->radr;

H=(w_f->x)-(l_f->x)

FileFunction()

TableMin

Начало

s=w_f->y; w_f=w_f->radr; s1=w_f->y; p=s1-s;

L_msp==NULL

L_msp=w_msp;

R_msp->radr1=w_msp

да

нет

l_fll==NULL

R_msp->radr1=w_msp

L_msp=w_msp;

да

нет

w_fll->a=p;r_fll=w_fll; w_msp->z=p;r_msp=w_msp;

w_f!=r_f

нет

w_msp=l_msp;

да

r_msp=w_msp; w_msp=l_msp;

w_msp!=r_msp

w_msp->z=p;

w_msp->z=p;l_msp=w_msp;

L_msp==NULL

s=c; w_msp=w_msp->radr1; c=w_msp->z; s1=w_msp->z; p=s1-s; r_fll->radr2=w_fll; w_fll->a=p;r_fll=w_fll; r_msp->radr1=w_msp;

c=w_msp->z; l_msp=NULL;

i=1;iradr;i++;

I=(i/2)

w_f=l_f;i>=1;i--

w_f=w_f->radr;

u=(x-(w_f->x))/h; l_u=w_u; w_u->u=u; r_u=w_u;

i=1;iu); r_u->uadr=w_u; w_u->u=u1; r_u=w_u;

Конец

VX(float u)

Начало

v=1-u; l_v=w_v; r_v->vadr=w_v; w_v->v=v; r_v=w_v;

i=1;iv); r_v->vadr=w_v; w_v->v=v1; r_v=w_v;

Конец

Summa()

Начало

i=1; w_f=l_f; w_fll=l_fll; w_u=l_u; w_v=l_v;

w_f!=r_f

w_f=w_f->radr;i++;

I=i/2

w_f=l_f;i>=1;i--

w_f=w_f->radr;

s=(w_f->y)*(w_v->v); w_f=w_f->radr; s1=(w_f->y)*(w_u->u); w_f=l_f;

w_f!=r_f

w_f=w_f->radr;i++;

i++; j=i;

;i>=1;i--

w_fll=w_fll->radr2;

i=j;

i=((i/2)-1);i>=1;i--

w_fll=w_fll->radr2;

w_v=w_v->vadr; s=s+(w_fll->a)*(w_v->v); i=j;

i=((i/2));i>=1;i--

w_fll=w_fll->radr2;

w_fll!=r_fll

i==0

j--;

i=j; j=i-1; i=j;

w_fll=l_fll; w_f=l_f;

Конец

p=s1+s;

w_u!=r_u

i=j*2;

w_fll=w_fll->radr2;

i=((i/2));i>=1;i--,j++

w_u=w_u->uadr; s1=s1+(w_fll->a)*(w_u->u); i=j-1; j=0; i=i-1;

i=j-1;

w_fll=w_fll->radr2;

;i>=1;i--

j=i;

j=i; w_u=l_u;

w_f=w_f->radr;i++;

w_f!=r_f

Конец

Страницы: 1, 2