МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Международная «Лига развития науки и образования» (Россия)
Международная ассоциация развития науки, образования и культуры России
(Италия)
Международный «ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ»
(г. Архангельск)
КУРСОВАЯ РАБОТА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«Информатика и программирование»
Тема : «Построение интерполяционного многочлена и вычисление по нему значения функции для заданного аргумента»
|Выполнил: студент экономического | |факультета, группы 12-И Воробьев | |А.А. | |Проверил: Горяшин Ю.В. | | |
Архангельск
2004
Аннотация Цель курсовой: для функции заданной в таблице построить интерполяционный многочлен и вычислить по нему значение функции для заданного значения аргумента. Составить блок схему алгоритма и программу на одном из языков высокого уровня (С++) для вычисления заданного интерполяционного многочлена. В программе предусмотреть возможности ввода любого числа значений функции для чего организовать хранение ее значении при помощи линейного списка.
Содержание
1. Аннотация
2. Содержание
3. Глава №1
4. Глава №2
5. Заключение
6. Список литературы
7. Приложение
8. Программа
Введение.
Возможность постановки вычислительного эксперимента на ЭВМ приводит к существенному ускорению процессов математизации науки и техники, к постоянному расширению области приложения современных разделов математики. Количественные методы внедряются практически во все сферы человеческой деятельности, что приводит к расширению круга профессий, для которых математическая грамотность становится необходимой. Однако, развитие науки и техники, современная технология производства ставят перед специалистами задачи, для которых либо не возможно, либо крайне громоздко и сложно получение алгоритма классическими методами математического анализа. Отсюда стремление использовать различные численные методы, разрабатываемые вычислительной математикой и позволяющие получить конечный числовой результат с приемлемой для практических целей точностью.
Численный метод решения задачи - это определенная последовательность операций над числами, т.е. вычислительный алгоритм, языком которого являются числа и арифметические действия. Такая примитивность языка позволяет реализовать численные методы на ЭВМ, что делает их мощными и универсальными инструментами исследования. Численные методы используются в тех случаях, когда не удается найти точное решение возникающей математической задачи. Это происходит главным образом, потому, что искомое решение обычно не выражается в привычных для нас элементах или других известных функциях. Даже для достаточно простых математических моделей иногда не удается получить результат решения в аналитической форме. В таких случаях основным инструментом решения многих математических задач выступают численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами, при этом результаты получаются также в виде числовых значений.
Многие численные методы разработаны давно, однако при ручных вычислениях они могли использоваться лишь для решения узкого круга не слишком сложных задач, и только с появлением высоко производительных ЭВМ начался период бурного развития методов вычислительной математики и их внедрения в практику. Численные методы приобрели важнейшее значение как мощное математическое средство решения практических задач в различных областях науки и техники.
Интерполирование, интерполяция,- приближенное или точное нахождение какой-либо величины по известным отдельным значениям или других величин, связанных с ней. В первоначальном понимании- восстановление функции (точное или приближенное) по известным ее значениям или значениям ее производных в заданных отрезках.
Основное применение интерполяции - это вычисление значении табулированной функции для неузловых (промежуточных) значений аргумента, поэтому интерполяцию часто называют «искусством чтения таблиц между строками». (П.Ф. Фильчаков)
Глава 1
Основные направления исследования: разрешимость задачи интерполирования, простейших интерполяционных формул, применение интерполяции для построения приближенных интерполяционных формул, применение интерполяции для построения приближенных и численных методов решения различных задач математики и ее приложений.
Приближенное представление функций. Интерпояционные функции [pic] на отрезке [pic] по значениям ее в узлах [pic] сетка [pic]- означает постоение другой функции [pic] такой, что [pic] В более общей постановке задача интерполирования функции [pic] состоит в постоении [pic] не только из условий совпадения значений функций [pic] и [pic] на стеке [pic], но и совпадения в отдельных узлах производных до какого-то порядка или некоторых других соотношений, связанных [pic] и [pic].
Обычно [pic] стоится в виде
[pic], где [pic]- некоторая заранее выбранная система линейно независимых функций. Такое интерполирование называется л и н е й н ы м относительно системы [pic], а [pic] интерполяционным многочленом по системе [pic].
Выбор системы [pic] определяется свойством класса функций, для приближения которого предназначаются интерполяционные формулы. Например, для приближения [pic]- периодической функции на [pic] за [pic] естественно взять тригонометрическую систему функций, для приближения на полу оси [pic] ограниченных или возрастающих функции- систему рациональных или показательных функций, учитывающих поведение приближаемых функций на бесконечности и т.д.
Чаще всего используя а л г е б р а и ч е с к о е интерполирование: [pic]. Существует ряд явных представлений алгебраических интерполяционных многочленов. Например интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид:
[pic]
В задаче приближения функции и на всём отрезке [pic] алгебраическое интерполирование высокого порядка выполняется сравнительно редко. Алгебраический интерполяционный процесс не является сходящимся в классе непрерывных на [pic] функций. Обычно ограничиваются линейным интерполированием по узлам [pic] и [pic] на каждом отрезке [pic] или квадратичным по трем узлам [pic],[pic],[pic] на отрезке [pic].
Эффективным аппаратом приближения функции являются интерполяционные сплайны, но их построение в ряде частных случаях требует значительных вычислительных затрат.
На практике чаще всего используются параболические или кубические полиноминальные сплайны. Интерполяция кубическим сплайном дефекта 1 для функции [pic] относительно сетки [pic] называет функцию [pic], являющуюся многочленом 3-й степени на каждом из отрезков [pic], принадлежащую классу дважды непрерывно дифференцируемых функции и удовлетворяющую условиям
[pic].
При таком определении кубического сплайна, он имеет еще свободных параметра, для нахождения которых на сплайн налагаются дополнительные краевые условия. Например [pic] или [pic] и [pic], или некоторые другие.
Полиномиальный интерполяционный сплайн произвольной степени m дефекта r определяется как функция [pic], удовлетворяющая, кроме условий [pic] и [pic], еще дополнительно условиям совпадения в узлах сетки значений функции [pic] и интерполированной функции [pic] и их производных до некоторого порядка.
Часто при обработке эмпирических данных [pic] коэффициенты [pic] в [pic] определяют исходя из требования минимизации суммы
[pic] [pic]- заданные числа, [pic].
Такое построение функции называют интерполированием по методу наименьших квадратов.
Интерполирование функций многих переменных имеет ряд принципиальных и алгебраических трудностей. Например в случае алгебраической интерполяции интерполяционный многочлен Лагранжа фиксированной степени, вообще говоря, не существует для произвольной схемы различных узлов интерполяции. В частности для функций двух переменных [pic] такой многочлен [pic] суммарной степени не выше n может быть построен по узлам [pic] лишь при условии, что эти узлы не лежат на алгебраической кривой порядка n.
Другой поход к интерполированию функции многих переменных [pic] стоит в том, что сначала интерполируется функция по переменной [pic] при фиксированных [pic] потом по следующей переменной при фиксированных [pic] и т.д. интерполяционные сплайны для функций многих переменных определяются по многомерной сетке при соответствующих изменениях по аналогии с одномерным случаем.
Интерполирование функций и численные методы. Интерполирование функции используется:
1. для замены сложно вычисляемой функции другой, вычисляемой проще
2. для приближенного восстановления функции на всей области задания по значениям её в отдельных точках или по другим известным величинам
3. для получения сглаживающих функций
4. для приближенного нахождения предельных значений функции
5. в задачах ускорения сходимости последовательностей и рядов и в других вопросах.
Общие идеи построения интерполяционных методов решения уравнения [pic]=0 и систем уравнения [pic], одни и те же. Трудности задачи интерполирования функций многих преременных особенно сказывается при исследовании и практическом использовании такого рода методов для большого числа уравнений. В основу получении интерполяционных методов решения уравнения [pic]=0 положена замена функции [pic] ее интерполяционным многочленом [pic] и последующим решением уравнения [pic]=0 берутся за приближенные решении уравнения [pic]=0 интерполяционный многочлен [pic] используется так же при построении итерационных методов решения уравнения [pic]=0.
Например взяв за [pic] корень линейного интерполяционного алгебраического многочлена, построенного по значениям [pic] и [pic] в узле [pic] или по значениям [pic] и [pic] в узлах [pic] и [pic], приходят соответственно к методу Ньютона и метода секущих
[pic], где [pic]- разделенная разность функций для узлов [pic] и [pic].
Другой подход к построению численных методов решения уравнения [pic]=0 основан на интерполировании обратной функции [pic]. Пусть в качестве интерполяционной формулы для функции [pic] взят интерполяционный алгебраический многочлен Лагранжа [pic], построенный по узлам [pic] Тогда за следующее приближению к корню [pic] уравнения [pic]=0 берется величина [pic].
Численное интегрирование. Аппарат интерполирования функции лежит в основе построения многих квадратурных и кубатурных формул. Такого рода формулы строятся путем замены интегрируемой функции на всей области или на её составных частях интерполяционными многочленами того или иного вида и последующим интегрированием этих многочленов. Например квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности, так называемые квадратурные формулы Гаусса:
Страницы: 1, 2
